Puedes encontrar la posibilidad de conseguir un par de dobles usando combinaciones. Esta es una manera.
En primer lugar, recordemos que una "combinación" de $n$ cosas tomadas $k$ a la vez es sólo un $k$ -de esos elementos. El número de combinaciones distintas es un coeficiente binomial, escrito (y a menudo calculado) como
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}.$$
La clave de este enfoque es crear una notación económica para describir los eventos de interés. Para ello, hay que tener en cuenta que los resultados de $5$ Las tiradas independientes de un dado de seis caras corresponden a vectores de seis elementos cuyas entradas cuentan el número de apariciones de cada cara. En concreto, cuando el lado $i$ aparece $n_i$ veces entre esos cinco rollos, la entrada $i$ en el vector es $n_i.$ Por ejemplo, si aparecen dos treses junto con uno de 1, 4 y 5, el vector sería $(1,0,2,1,1,0).$
Sea el "patrón" de un vector la cuenta de sus entradas. El patrón del vector anterior es dos ceros, tres unos y un dos. Podemos escribir este patrón como una secuencia de las cuentas $2, 3, 1, 0, 0, \ldots.$ (No es necesario escribir los ceros terminales).
Resuelve el problema en estos pasos.
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Identifica todos los patrones con dos dobles. Esto es sencillo: serían $0,1,2$ y $0,0,1,1.$ (Lo que las caracteriza es que son secuencias de números naturales $k_0, k_1, k_2, \ldots$ para lo cual $\sum_{i=0}^\infty i\,k_i = 5$ y $\sum_{i=2}^\infty k_i \ge 2.$ La primera suma cuenta los dados mientras que la segunda cuenta los resultados que aparecen dos o más veces).
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Identifica el número de maneras en que cada patrón podría aparecer en un vector de seis.
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El patrón $0,1,2$ elige dos resultados que tienen dobles y, entre los restantes $6-2 = 4$ resultados, recoge una posibilidad más. Hay $\binom{6}{2}=15$ en el primer caso y $\binom{6-2}{1}=4$ en el otro para un total de $15\times 4 = 60$ posibilidades.
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El patrón $0,0,1,1$ elige un resultado con un doble y otro con un triple. Hay $\binom{6}{1}=6$ formas para que se produzca la primera y luego $\binom{6-1}{1}=5$ más formas de que se produzca la otra, para un total de $6\times 5 = 30$ posibilidades.
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Calcula las posibilidades de todos estos posibles seis vectores $\mathbf n.$ Vienen dados por los coeficientes multinomiales $$\binom{5}{\mathbf n} = \frac{5!}{n_1!n_2!\cdots n_6!},$$ cada uno de ellos multiplicado por la probabilidad de cualquier resultado individual; es decir $6^{-5}.$ Como estos coeficientes multinomiales no cambian cuando los elementos de $\mathbb n$ se reordenan, sólo dependen del patrones, por lo que sólo hay que calcular dos valores: $$\binom{5}{(2,2,1,0,0,0)} = \frac{5!}{2!2!1!} = 30$$ y $$\binom{5}{(3,2,0,0,0,0)} = \frac{5!}{3!2!}=10.$$ (Por comodidad no solemos escribir los ceros en la notación multinomial).
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Añade las posibilidades. Obtenemos $$\eqalign{\left(\binom{5}{(2,2,1)} \binom{6}{2} \binom{6-2}{1} + \binom{5}{(3,2)} \binom{6}{1}\binom{6-1}{1} \right)6^{-5} &= \frac{30(15)(4) + 10(6)(5)}{6^5} \\&= \frac{2100}{7776}.}$$
He escrito las fórmulas de forma que sugieren cómo se generalizan a diferentes patrones para diferentes números de tiradas para dados de caras arbitrarias. El paso 1 es la parte difícil en general: el resto son cálculos sencillos. Resolver el paso 1 equivale a encontrar particiones con ciertas propiedades. Se trata de un rico tema combinatorio, pero su análisis requiere matemáticas más avanzadas.
