$G$ es un grupo no abeliano de orden 6$ \implies G \approx S_3 $. ¿Prueba más sencilla?

Question

He visto algunas de las pruebas de este hecho, pero que parecía más complicado de lo necesario, así que he tratado de llegar con mi cuenta, lo cual es de esperar que sea más simple. Puede usted por favor decirme si es correcto?

Prueba. $G$ no tiene un elemento de orden 6, otra cosa sería cíclico y por lo tanto abelian. Así, los elementos de $G$ diferente de $e$ sólo puede tener orden de 3 o 2. Si todos los $g \in G$ tiene orden 2, a continuación, $G$ es abelian, por lo que debe haber al menos un elemento $a \in G$ de orden 3. El subgrupo $H= \langle a \rangle$ es normal en $G$ debido a que su índice es de 2. $G/H$ es un grupo cíclico de orden 2. Deje $b \not \in H$. Tenemos $(bH)^2=H \implies b^2 \in H$. Si $o(b)=3$, a continuación, $ b=b^4=b^2b^2 \in H$, una contradicción. Así que debemos concluir que todos los $g \in bH$ es de orden 2.

Tenemos $G= H \cup bH = \{e, a, a^2, b, ba, ba^2 \}$. Por otra parte, $ab \in Hb = bH$ lo $(ab)^2=e$. A continuación, $ab=b^{-1}a^{-1}=ba^2$, que es exactamente la relación en $S_3$. $\square$

Answer 1

Parece que este es de hecho correcta, pero "simple" es algo relativo; la simplicidad de la prueba depende de cómo muchos otros hechos o teoremas se pueden utilizar en ella. Otro ejemplo de un "simple" prueba (muy similar a la suya) podría ser:

$G$ tiene una orden de $2$ elemento $s$ y un orden de $3$ elemento $r$ por Cauchy teorema (una exageración, pero guarda la escritura). Ahora $2\nmid3$ lo $s\notin\langle r\rangle$ , de modo que todos los elementos de $\langle r\rangle,s\langle r\rangle$ son distintos, por lo tanto son los elementos de $G$. A continuación, considere la posibilidad de $rs$; $s\notin\langle r\rangle\implies rs\notin\langle r\rangle$, y también se $rs\ne s$. Si $rs=sr$ entonces $G$ es abelian. El único elemento de la izquierda es $rs=sr^2$, y hemos terminado.