Calcular el determinante de $X^*X$ dado $X$ .

Question

Estoy tratando de demostrar que si $u_i\in \mathbb{R}$ para $i=1,...,n$ y $$X =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \ & \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ u_1 & u_2 & u_3 & \cdots & u_n \end{pmatrix}$$

entonces $\det(X^{T}X)=1 +u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2$ , donde $X^T$ es la transposición de $X$ .

Esto es lo que sé. $X$ es un $(n+1)$ -por- $n$ matriz, y $X^T$ es un $n$ -por- $(n+1)$ matriz; por lo tanto $X^TX$ es un $n$ -por- $n$ matriz cuadrada, por lo que podemos tomar su determinante.

Además, la fórmula es sencilla de verificar para los casos $n=2,3$ .

El $(i,j)$ entrada de la matriz $X^TX$ es \begin {align*} (X^TX)_{i,j} &= \sum_ {k}(X^T)_{i,k}X_{k,j} = \sum_k X_{k,i}X_{k,j} \\ &= \langle X_{ \cdot ,i},X_{ \cdot , j} \rangle = \delta_ {i,j} + u_iu_j \end {align*} donde $X_{\cdot,j}$ denota el $j$ columna de $X$ . Como conozco todas las entradas, podría hacer alguna combinación de inducción y expansión de cofactores, pero no pude hacerla funcionar.

También he probado el cálculo con matrices "en bloque", que es algo con lo que no estoy muy familiarizado. Si $I_n$ es el $n$ -por- $n$ matriz de identidad y $\vec{u}=(u_1,\ldots,u_n)$ entonces tenemos $$\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} \;\;\; \text{ and}\;\;\; \left( \vec{u}\right)^T = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n\end{pmatrix}$$ para que $$X^T = \begin{pmatrix} I_n & \vec{u} \end{pmatrix} \;\;\; \text{ and}\;\;\; X = \begin{pmatrix} I_n \\ \left(\vec{u}\right)^T \end{pmatrix}.$$

Entonces, si somos presuntuosos, podemos tratar $X^T$ y $X$ como $1$ -por- $2$ y $2$ -por- $1$ respectivamente. Entonces $$X^TX = 1 + \vec{u}\left(\vec{u} \right)^T = 1 + \|u\|^2$$ que claramente implicaría el resultado que quiero, si este cálculo puede ser justificado.

No he podido encontrar este problema específico en otro sitio, pero estoy seguro de que se ha preguntado otras veces en este sitio.

Por favor, hazme saber tus ideas y consejos para este problema, y ayúdame a justificar o refutar el cálculo de la matriz de bloques que he realizado. Si no se puede justificar, ¿por qué se insinúa la respuesta correcta? Gracias.

Answer 1

Puede utilizar el identidad $\det(I+AB)=\det(I+BA)$ donde el $I$ en el LHS tiene el mismo tamaño que $AB$ y el $I$ en el lado derecho tiene el mismo tamaño que $BA$ . Esta identidad se deduce del hecho de que $AB$ y $BA$ tienen el mismo conjunto (contando multiplicidades) de valores propios no nulos sobre el cierre algebraico del campo subyacente.

En tu caso, la identidad da $\det(I_n+uu^T)=\det(I_1+u^Tu)=1+\|u\|^2$ .

Answer 2

Se puede utilizar una descomposición LU (donde una "suma vacía" se considera como $0$ ): \begin {align} X^ \top X&=LU \text {, donde} \\ U_{i,j}&= \begin {casos} 1+ \sum_ {k=1}^j u_k^2 &, \text { si } i=j; \\ u_i u_j &, \text { si } j > i \text (parte superior triangular)}; \\ 0 &, \text { si } j < i \end {casos} \\ L_{i,j}&= \begin {casos} \dfrac {1}{1+ \sum_ {k=1}^{j-1} u_k^2}&, \text { si } i=j; \\ u_i u_j \cdot\left ( \displaystyle\prod_ {k=j-1}^j \Big (1+ \sum_ {h=1}^k u_k^2 \Big ) \right )^{-1} &, \text { si } i<j \text (parte triangular inferior)}; \\ 0 &, \text { si } i>j; \end {casos} \end {align}

Tenemos pues, por multiplicidad del determinante, $\det(X^\top X)=\det(L)\det(U)$ . Desde $L$ sólo tiene $0$ s en su parte superior, y $U$ sólo tiene $0$ s en su parte inferior, el determinante de estas matrices es simplemente el producto de sus elementos diagonales. Así pues,

\begin {Ecuación} \begin {split} \det (X^ \top X)&= \det (L) \det (U) \\ &= \prod_ {h=1}^n \left (1+ \sum_ {k=1}^h u_k^2 \right ) \cdot \prod_ {h=1}^n \left ( \frac1 {1+ \sum_ {k=1}^{h-1} u_k^2} \right ) \\ &= \prod_ {h=1}^n \frac {1+ \sum_ {k=1}^h u_k^2}{1+ \sum_ {k=1}^{h-1} u_k^2} \\ &= 1+ \sum_ {k=1}^n u_k^2 \qquad\text {(por cancelación de términos)}. \end {split} \end {Ecuación}