La declaración de yuggib es correcta. Para ponerlo en perspectiva, voy a empezar con una formulación general y, a continuación, voy a mostrar cómo vector de estados y de la densidad de los operadores de encajar en la imagen. No voy a tratar de ser matemáticamente rigurosa aquí, pero voy a tratar de dar una visión general con la suficiente cantidad de palabras clave y referencias para permitir el posterior estudio.
Estado = normalizado lineal positiva funcional
Cada estado cuántico, puro o mezclado, puede ser representado por una normalizado lineal positiva funcional en el álgebra de operadores. Un funcional de la toma de cualquier operador $X$ como entrada y devuelve un único número complejo $\rho(X)$ como de salida, con agradable propiedades como
\begin{gather*}
\rho(X+Y)=\rho(X)+\rho(Y)
\hskip2cm
\rho(cX)=c\rho(X)
\\
\rho(X^*X)\geq 0
\hskip2cm
\rho(1)=1
\end{reunir*}
para todos los operadores de $X,Y$ y números complejos $c$. Estoy usando un asterisco tanto para el complejo de la conjugación y para el operador adjunto, y estoy escribiendo $1$ tanto para la identidad del operador y el número de la unidad. También estoy considerando sólo limitada a los operadores a mantener las declaraciones simple. Esto siempre es suficiente, en principio, aunque normalmente utilizamos algunos operadores no acotados en la práctica, porque es conveniente.
"Normalizado lineal positiva funcional" es un nombre largo para una cosa muy simple. También tiene un nombre más corto: los matemáticos a menudo sólo tiene que llamar a un estado (ver Wikipedia), y voy a utilizar ese nombre aquí. En [1], es llamado un algebraicas estado para distinguirlo de los otros usos de la palabra "estado".
Un estado que se llama mixto si puede ser escrito como
$$
\rho(X) = \lambda_1\rho_1(X)+\lambda_2\rho_2(X)
$$
para todos los $X\in{\cal A}$, donde $\rho_n$ son dos estados distintos, y donde los coeficientes $\lambda_n$ son ambos números reales positivos (no cero). Un estado que no puede ser escrito de esta manera se llama pura.
Todo esto es completamente general. Funciona muy bien en todo, desde un único qubit sistema de la teoría del campo cuántico. En contraste, el uso de una densidad de operador para representar a un estado que es matemáticamente menos general. Los párrafos siguientes direcciones de cómo vector de estados y de la densidad de las matrices de encajar en el panorama más general descrito anteriormente.
Vector de estados y matrices de densidad / densidad de los operadores
El GNS teorema dice que un estado puede ser implementado como siempre
$$
\rho(\cdots) =\frac{\langle\psi|\cdots|\psi\rangle}{
\langle\psi|\psi\rangle}
$$
donde $|\psi\rangle$ es un único vector en algunos de Hilbert-espacio de representación de la álgebra de operadores. Incluso los estados mixtos siempre puede ser implementado de esta manera. El problema es que el requerido Hilbert-representación del espacio no es necesariamente irreducible, y quizás tengamos que cambiar a diferentes Hilbert-espacio de representaciones para la ejecución de diferentes estados de esta manera. Hilbert-espacio de representación de la álgebra de operadores es irreducible si y sólo si el estado es pura [2][3].
Un estado $\rho$ se llama un estado normal si un operador $\hat\rho$ (una matriz de densidad o densidad de operador) existe tal que [4]
$$
\rho(\cdots) = \text{Trace}(\cdots \hat \rho).
$$
El hecho de que este tipo de estado tiene un nombre especial sugiere que se trata de un tipo especial de estado — que no, que cada estado puede ser expresado de esta manera. Esto es confirmado en [5], donde los contraejemplos son descritos por Valter Moretti. Las Matemáticas SE pregunta [6] también pide un contraejemplo, y tiene una respuesta.
Conclusión
Todo esto es consistente con yuggib la declaración de
no cada estado cuántico puede ser representado, en un dado (irreductible) la representación, como un rayo en el espacio de Hilbert (o como una matriz de densidad, en realidad).
La declaración debe ser analizada con cuidado, sin embargo: las palabras dadas y irreductible son importantes. La página de la Wikipedia que dijo "que Describe un estado cuántico por su densidad de la matriz es completamente una alternativa general..." podría estar refiriéndose a un menor-contexto general, como finito-dimensional de Hilbert espacios, o puede ser implícitamente el uso de una definición general de "estado". Eso no significa que la página de Wikipedia que está mal; lo que significa que — como siempre — debemos guardarnos de equivocación.
Referencias:
[1] Valter Moretti (2013), Espectral de la Teoría y de la Mecánica Cuántica (Una 2018 edición también está disponible; he citado a la versión de 2013 porque es el que tenía en la mano al escribir esta respuesta)
[2] la Proposición 1.8 en https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036
[3] Teorema 14.12 [1]
[4] https://ncatlab.org/nlab/show/state+con+una+star-álgebra
[5] hay un significado físico a la no-normalidad de los estados de la álgebra de características observables? (en la Física SE)
[6] "No normal del estado" (https://math.stackexchange.com/q/2962163)
Addendum: Esta respuesta ha sido votada abajo un par de veces. No sé por qué (no hay comentarios fueron de la izquierda), pero estoy añadiendo la siguiente aclaración en caso de que las direcciones de la preocupación:
Si la pregunta hubiera sido "Son estados normales suficiente para todos los propósitos prácticos?", entonces la respuesta sería, sin duda, sí. Pero esa no es la cuestión. El quesetion preguntó por la razón detrás de un determinado matemáticamente mente declaración sobre los estados sobre las álgebras de operadores, y que es lo que esta respuesta se intenta abordar.
