Vecindad en grupos topológicos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo topológico, $e$ el elemento neutro y $U$ un barrio de $e$ .

Reclamación : Entonces existe una vecindad $V$ de $e$ , de tal manera que $V^2 \subseteq U$ .

Esto se deduce fácilmente de la continuidad de la multiplicación del grupo. ¿Pero cómo?

Answer 1

El mapa $m\colon (x,y)\in G^2\mapsto x\cdot y$ es continua, donde $G^2$ está dotado de la topología del producto. Por lo tanto, hay $(e,e)\in O\subset G^2$ abierto tal que $m(O)\subset U$ . Por definición de la topología del producto, existe $V_1,V_2$ conjunto abierto tal que $e\in V_1\cap V_2$ y $V_1\times V_2\subset O$ . Ahora toma $V:=V_1\cap V_2$ .