Cómo funciona la acción de grupo.

Question

Comprobación Wikipedia y Quora (y algunos documentos) era un poco difícil para entender la Acción de Grupo. Lo más cercano a la comprensión fue esta parte:

Entiendo la definición de homomorfismo (un mapa que preserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo). Y por lo que entiendo el grupo simétrico es un grupo de funciones (funciones biyectivas) que asignan elementos de un conjunto $X$ sobre sí misma.

Sin embargo, me confundo en esta línea:

...una acción de $G$ en $X$ puede definirse formalmente como un homomorfismo de grupo $\phi$ de $G$ al grupo simétrico de $X$ .

Esa parece ser la definición de acción de grupo, pero me cuesta entender cómo aplicarla.

Lo que eso me dice es que es un homomorfismo (función) $f \colon X \rightarrow S$ donde $S$ es un conjunto de funciones biyectivas sobre $X$ . Eso en sí parece raro, pensé que una acción de grupo daría lugar a un número o algo relacionado con $\{1, 2, 3\}$ (se define a continuación).

Continuando, si tenemos un conjunto $X = \{1, 2, 3\}$ y un grupo $(*,\{4, 5, 6\})$ entonces el grupo simétrico de $X$ sería algo como $S = \{1 \rightarrow 2, 2 \rightarrow 3, \dots \}$ y $\phi$ sería algo como $f : \{4, 5, 6\} \rightarrow S$ . Eso no tiene sentido para mí y siento que estoy interpretando algo mal. No veo cómo mapear a un conjunto de funciones $S$ dará lugar a una acción sobre el conjunto.

Answer 1

$\newcommand{\Map}{\textrm{Map}}\newcommand{\Sym}{\textrm{Sym}}$ Desgraciadamente, estás interpretando algo mal Intentemos darle más sentido.

Lo que eso me dice es que es un homomorfismo (función) $f\colon X\to S$ donde $S$ es un conjunto de funciones biyectivas sobre $X$ .

No, no dice eso. Aquí hay tres objetos diferentes, pero tú sigues confundiéndolos con otros (de diferentes maneras a lo largo de tu post). Esos tres objetos son:

• un grupo $G$ ,
• un conjunto $X$ ,
• y el grupo simétrico de todas las funciones biyectivas sobre $X$ que podemos denotar $S=\Sym(X)$ .

Ahora bien, la definición de una acción de grupo (de un grupo $G$ en un conjunto $X$ ) dice que es un homomorfismo de grupo $f\colon G\to S$ es decir $f\colon G\to\Sym(X)$ . Obsérvese que el dominio de la acción de grupo $f$ es $G$ no $X$ como dijiste.

si tenemos un grupo $(,\{4,5,6\})$

Esto es un poco difícil de entender. Supongo que estás diciendo que tenemos un grupo $G=(,\{4,5,6\})$ . Bien, entonces $\{4,5,6\}$ es el conjunto subyacente de este grupo, pero no está muy claro cómo la operación $*$ obras. Dado que ésta no es una de las notaciones estándar comunes para un grupo concreto (como $\mathbb{Z}$ o $V_4$ ), debe definirlo. Por supuesto, ya que estás teniendo una discusión general aquí y no utilizas esta operación explícitamente, no puedo decir que haya nada malo en ello per se. Es posible definir una operación de grupo $*$ en el plató $\{4,5,6\}$ . Pero sería un poco inusual teniendo en cuenta la elección de los símbolos para los elementos del grupo (por ejemplo, uno de ellos - ya sea $4$ o $5$ o $6$ - tendrá que ser el elemento de identidad). Así que la única razón por la que señalo esto es porque sospecho que también es un signo de una de sus confusiones.

el grupo simétrico de $X$ sería algo como $S=\{1\to2,2\to3,\ldots\}$

Lo siento, pero esto no tiene mucho sentido. Podemos decir que un elemento individual del grupo simétrico se parece más o menos a eso. Por ejemplo, si $X=\{1,2,3\}$ entonces uno de los elementos de $S=\Sym(X)$ es la correspondencia biyectiva $\sigma_1=\{1\mapsto2,2\mapsto3,3\mapsto1\}$ o mejor dicho $\sigma_1=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}$ en notación de pares ordenados. Otros ejemplos de elementos de $S=\Sym(X)$ es la correspondencia biyectiva $\sigma_2=\{1\mapsto2,2\mapsto1,3\mapsto3\}=\{(1,2),(2,1),(3,3)\}$ . Pero entonces $S=\Sym(X)$ es el conjunto de todos los mapas biyectivos. En este ejemplo (aguante la respiración): $$\begin{align} S&=\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4,\sigma_5,\sigma_6\}, \quad \text{where}\\ \sigma_1&=\{1\mapsto2,2\mapsto3,3\mapsto1\}=\{(1,2),(2,3),(3,1)\},\\ \sigma_2&=\{1\mapsto2,2\mapsto1,3\mapsto3\}=\{(1,2),(2,1),(3,3)\},\\ \sigma_3&=\{1\mapsto3,2\mapsto2,3\mapsto1\}=\{(1,3),(2,2),(3,1)\},\\ \sigma_4&=\{1\mapsto1,2\mapsto3,3\mapsto2\}=\{(1,1),(2,3),(3,2)\},\\ \sigma_5&=\{1\mapsto3,2\mapsto1,3\mapsto2\}=\{(1,3),(2,1),(3,2)\},\\ \sigma_6&=\{1\mapsto1,2\mapsto2,3\mapsto3\}=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}, \end{align}$$ enumerados sin ningún orden en particular.

y $\varphi$ sería algo como $f\colon\{4,5,6\}\to S$ .

Sí, bajo tres condiciones:

• entiende correctamente lo que $S$ es;
• se define claramente una estructura de grupo, es decir, la operación de multiplicación $*$ en el grupo $G=\{4,5,6\}$ ;
• y te aseguras de que $f\colon G\to S$ es un homomorfismo de grupo entre el grupo $G=\{4,5,6\}$ con la operación $*$ y el grupo $S=\Sym(X)$ con la composición como operación de grupo.

Answer 2

Sea $\newcommand{\Map}{\textrm{Map}}\newcommand{\Sym}{\textrm{Sym}}$ veamos primero los conjuntos $A$ , $B$ y $C$ . Escriba a $\Map(A,B)$ para la conjunto de todas las correspondencias (funciones) de $A$ a $B$ . Existe una correspondencia correspondencia (en el sentido de la teoría de categorías) $$\Map(A\times B,C)\leftrightarrow\Map(A,\Map(B,C)).$$ Los informáticos llaman a esto curry por Haskell Curry. Dice que los mapas $f:A\times B\to C$ corresponden a mapas $F:A\to\Map(B,C)$ . ¿Cómo funciona? Si $f:A\times B\to C$ y $a\in A$ define $F_a:B\to C$ por $F_a(b)=f(a,b)$ . Entonces $F_a\in\Map(B,C)$ y $F:a\mapsto F_a$ es un mapa de $A$ a $\Map(B,C)$ .

Pasemos ahora a las acciones de grupo. Si $G$ es un grupo y $X$ un conjunto, entonces una acción de grupo es un elemento de $\Map(G\times X,X)$ o equivalentemente $\Map(G,\Map(X,X))$ que cumplan determinadas condiciones. Si lo consideramos como un mapa $F:G\to\Map(X,X)$ entonces su imagen debe estar en $\Sym(X)\subseteq\Map(X,X)$ la colección de biyecciones de $X$ a $X$ . Además $F$ debe ser un homomorfismo de grupo. Entonces $F$ corresponde a $f:G\times X\to X$ por curry. La condición que $F$ sea un homomorfismo de grupo se traduce por $f(e,x)=x$ y $f(g_1g_2,x)=f(g_1,f(g_2,x))$ . Si escribimos $f$ en notación infija como $f(g,x)=g\cdot x$ se convierten en $e\cdot x=x$ y $(g_1g_2) \cdot x)=g_1\cdot(g_2\cdot x)$ .

Answer 3

Una definición menos abstracta de la acción de un grupo G sobre un conjunto S es como un mapeo desde $G\times S$ a $S.$ Escribimos $gs$ para la imagen de $(g,s)$ bajo este mapeo. Hay dos condiciones, $$es=s, \forall s\in S$$ $$g_1(g_2s)= (g_1g_2)s, \forall g_1,g_2\in G, \forall s\in S$$ Aquí $e$ es el elemento de identidad de $g$ .

Es este ver que para cualquier $g\in G$ tenemos que $s\mapsto gs$ es una permutación de $S$ (multiplicar por la izquierda por $g^{-1})$ .

Con esa pista, deberías poder demostrar la equivalencia de esta definición con la que encontraste en la Web.