Estaba leyendo el libro "Pham kim hung secrets in inequalities,Volume 1" y había un problema interesante en su sección de Cauchy-Schwarz y Holder que me llamó la atención.
Demostrar que para todos los números reales positivos $a,b,c,d,e,f$ siempre tenemos $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+f}+\frac{e}{f+a}+\frac{f}{a+b}\ge 3$$
El escritor del libro lo demostró mediante Cauchy-Schwarz, pero había otro método al principio del libro para demostrar la desigualdad original de Nesbitt.
Demostrar que para todos los números reales no negativos $a,b,c$ $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}$$ Solución: establecer $S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ , $M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}$ , $N=\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}$ . inconscientemente $M+N=3$ .y por AM-GM obtenemos el $$M+S\ge3,N+S\ge3$$ Así que $M+N+2S\ge6$ y $M+N=3$ obtenemos $S\ge\frac{3}{2}$ .
Como este método (llamándolo $S,M,N$ ), demuestra que $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2$$
para todo lo no negativo $a,b,c,d$ .
Como me gustaba este método, empecé a probar la variación de 6 variables utilizándolo. $$S=\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c}$$ $$M=\sum\limits_{cyc}\frac{b}{b+c}$$ $$N=\sum\limits_{cyc}\frac{c}{b+c}$$
es fácil ver que $M+N=6$ .y usando AM-GM es fácil llegar a eso $M+S\ge6$ pero para probar $N+S \ge 6$ $$N+S=\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+e}{d+e}+\frac{d+f}{e+f}+\frac{e+a}{f+a}+\frac{f+b}{a+b}\ge 6$$
No veo ninguna manera de cambiar esto a algo fácil de trabajar con él.Por cierto es extraño que por qué se llama desigualdad de 6 variables de Nesbitt en el libro porque la Generalización de Nesbitt es $$\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{s-a_i}\ge\frac{n}{n-1}$$ Donde $\sum_{i=1}^{n}a_i = s$ para que sea positivo $a_1,\ldots a_n$ .
