Extensión de los números algebraicos.

Question

No encontré una pregunta como esta, así que espero que no me estoy copiando otra pregunta. Si lo soy, lo siento.

Antes de que me pregunte a mi pregunta, primero vamos a $\Bbb Q(i)$ denotar los números, que son todos los números de la forma $a+bi$ donde $a,b \in \Bbb Q$. Y que se nota de números algebraicos como $\Bbb A$.

• Mi primera pregunta es, si los números, que son definidas como las raíces de polinomios con coeficientes de $\Bbb{Q}(i)$ son adecuados superconjunto de números algebraicos o no?

• Mi segunda pregunta es, si los números, que son definidas como las raíces de polinomios con coeficientes de $\Bbb{A}$ son adecuados superconjunto de números algebraicos o no?

Creo que ambos son iguales a los números algebraicos, debido a que un polinomio siempre se puede ampliar a un polinomio con, al menos, los coeficientes reales utilizando el método que se describe aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem .

Porque cuando hay un factor de $(x+t+si)$, yo simplemente empezar a multiplicar el polinomio con $(x+t-si)$, hasta este conjugado raíz tiene el mismo poder en el polinomio, como la raíz de ese factor. Que daría como resultado un polinomio con coeficientes reales para asegurarse. Pero si son racionales, o los polinomios pueden ser extendidos a tener racional de los coeficientes, que no sé (cómo probar o refutar), pero creo que son, o pueden ser extendidos.

Answer 1

Un resumen de los libros de texto material de extensiones algebraicas de los campos y algebraicas de los elementos (la parte superior de mi cabeza, solo para obtener esta pregunta sin respuesta de la lista).

Definición. Si $K\subseteq L$ son campos y $z\in L$, podemos decir que el $z$ es algebraico sobre $K$, si hay un no-cero del polinomio $p(x)\in K[x]$ tal que $p(z)=0$. Decimos que $L$ es algebraico sobre $K$, si todos los elementos de a $L$ son algebraicos sobre $K$.

Básico de observación. En la configuración anterior $z$ es algebraico sobre $K$ si y sólo si existe un espacio vectorial $V\subseteq L,V\neq\{0\}$, finito dimensionales más de $K$, de tal manera que $V$ es cerrado bajo la multiplicación por $z$.

Prueba (boceto). Si $z$ es un cero de un polinomio $p(x)\in K[x]$ grado $n$, luego $$V=K\cdot 1+K\cdot z+\cdots+K\cdot z^{n-1}$$ is closed under multiplication by $z$ because $z^n$ can be written as a $K$-linear combination of lower powers of $z$. For the other direction we can consider the characteristic polynomial $m(x)\en K[x]$ of the $K$-linear transformation $\rho:V\V \rho(x)=zx$. By basic linear algebra $m(z)=0$.

Corolario 1. Si $[L:K]<\infty$ $L$ es algebraico sobre $K$. Prueba. En este caso se pueden utilizar $V=L$ todos los $z\in L$.

En particular, debido a $\Bbb{Q}(i)$ es un 2-dimensional espacio vectorial sobre $\Bbb{Q}$, todos sus elementos son algebraicos sobre $\Bbb{Q}$.

Corolario. Si $K\subseteq L\subseteq M$ son los campos, $z\in M$ es algebraico sobre $L$, e $L$ es algebraico sobre$K$, $z$ es algebraico sobre $K$.

Prueba (Boceto). Deje $p_L(x)=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n\in L[x]$ ser un no-cero del polinomio tal que $p_L(z)=0$. Debido a que todos los coeficientes de $a_i\in L$ existen finito dimensionales $(/K)$ subespacios $V_i,i=0,\ldots,n$, de tal manera que $V_i$ estable bajo la multiplicación por $a_i$. Podemos fácilmente ver que el espacio $$ V=V_0\cdot V_1\cdots V_n\cdot W, $$ donde $W=K+K\cdot z+\cdots K\cdot z^n$, es estable bajo la multiplicación por $z$. Aquí estoy de definir el producto $U_1\cdot U_2$ de dos subespacios, $U_1$$U_2$, a ser el espacio finito de $K$-combinaciones lineales $$ U_1U_2=\{\sum_{j=1}^m a_ju_{1j}u_{2j}\mediados de a_j\in K, u_{1j}\en U_1, u_{2j}\en U_2\}. $$ Se ve fácilmente que $\dim_K U_1\cdot U_2\le \dim_K U_1\cdot \dim_K U_2$. En consecuencia $$ \dim_KV\le n\cdot\prod_{i=0}^n\dim_KV_i $$ es finito. El reclamo de la siguiente manera.

Su demanda se contesta en la afirmativa, como consecuencia del Corolario 2. Cualquier número es algebraico sobre $\Bbb{Q}(i)$ es necesariamente también algebraicas sobre $\Bbb{Q}$.

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En el caso de una ruta más fácil hacia el destino es observar que si $$p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$$ ha coeficientes en $\Bbb{Q}(i)$ (e $p(z)=0$ algunos $z$), entonces, lo que denota polinomio obtenido mediante la conjugación de todos los coeficientes $$ \overline{p}(x)=\overline{a_0}+\overline{a_1}x+\cdots+\overline{a_n}x^n, $$ vemos que el producto de $p(x)\overline{p}(x)$ ha

1. $z$ cero,
2. sus coeficientes en $\Bbb{Q}(i)$, y
3. sus coeficientes son reales.
4. Por lo tanto, sus coeficientes son en realidad racional.

Un argumento similar está disponible de forma más general, al $L/K$ es una extensión de Galois, cuando se puede aplicar todo el campo de automorfismos de los coeficientes de $p(x)\in L[x]$, y como el producto de un polinomio con coeficientes en el pequeño campo de $K$.