Encontrar ejemplo de cuasi isomorfismo que no tiene cuasi inverso

Question

Entre diferencial graduada álgebra $V,W$, un mapa de la cadena de $f\colon V\to W$ induce homomorphism entre su homología. Si esto se convierte en un isomorfismo entre la homología de $V,W$, llamar a este cuasi isomorfismo. Mi objetivo es encontrar cuasi isomorfismo tal que no es cuasi inversa, es decir, la cadena de mapa de $g\colon W\to V$ que induce isomorfismo en sus homologías. Existe un sencillo ejemplo de uso de los siguientes complejos de la cadena

$A :0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\to0$ (mapa dada por la multiplicación por $2$)

$B : 0 \to 0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0$

Me puede dar una cadena de mapa de $A$ a $B$, la más obvia, la que induce a isomorfismo en la homología, así que es un cuasi isomorfismo. Pero no hay tal mapa de $B$ a $A$ desde $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ha de torsión. y puedo dar álgebra estructura de aquí, aunque estúpido estructura es (por ejemplo, la definición de todo a cero), pero funciona. De modo que existe contraejemplo.

Pero quiero encontrar contraejemplo uso de espacios vectoriales, y es más duro que el álgebra general (lo que permite que cualquier $R$-módulo). Podría alguien ayudarme con esto? Gracias de antemano.

Answer 1

No hay ejemplos en la categoría de espacios vectoriales, ya que una prueba elemental de esto sostiene que cualquier $$\cdots \to A_i \to A_{i + 1} \to \cdots$% $ complejo es casi isomorfo (con casi inverso) al$$ \cdots \to H^i(A_\bullet) \overset{0}{\to} H^{i + 1}(A_\bullet) \to \cdots$#%$ esto se hace en dos pasos, primero argumentar que cada complejo puede escribirse en la forma $$\cdots \to I_i \oplus K_i \oplus I_{i + 1} \to I_{i + 1} \oplus K_{i + 1} \oplus I_{i + 2} \to \cdots$ $ a donde el mapa se envía$I_{i + 1}$ a sí mismo y mata a$I_i$ y$K_i$. A continuación, escriba los mapas de cadena obvios hacia y desde el complejo$$ \cdots \to K_i \overset{0}{\to} K_{i + 1} \to \cdots y verifique que sean de hecho casi inversos entre sí.