Contar - Combinaciones de $4$ números de un dígito y sus sumas.

Question

Formamos todos los posibles $4$ -números de un dígito utilizando $1,2,3,4,5$ .

1. ¿Cuántos números de este tipo son posibles?
2. ¿Cuál es la suma de todos estos números de 4 cifras?
3. ¿Cómo cambian las respuestas si utilizamos $1,1,2,3,4$ en su lugar.

Mi intento :

1. $5$ opciones para cada posición. Por lo tanto, $5\cdot5\cdot5\cdot5= 625$

2. $4$ opciones como $1$ se repite $2$ tiempos. Por lo tanto, $4\cdot4\cdot4\cdot4 = 256$ .

Estoy atascado en la parte (2). No tengo ni idea.

Answer 1

Creo que ha interpretado mal la pregunta. La tercera parte de la pregunta sugiere que se utilicen los dígitos de la lista sin repetición. Con esta interpretación en mente, procedamos.

¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos $1, 2, 3, 4, 5$ ?

Para formar un número de cuatro dígitos, seleccionamos cuatro de los cinco dígitos y los colocamos en orden, lo que puede hacerse en $$\binom{5}{4} \cdot 4! = 5 \cdot 4 = 120$$ formas.

¿Cuál es la suma de estos $4$ -¿números de un dígito?

Por simetría, cada uno de los cinco dígitos se utiliza en cada posición $$\frac{120}{5} = 24$$ veces. Por lo tanto, la suma es $$24(1 + 2 + 3 + 4 + 5)(10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0) = 24 \cdot 15 \cdot 1111 = 399 960$$

¿Cómo cambian las respuestas si utilizamos $1, 1, 2, 3, 4$ ?

Hay dos posibilidades.

1. Hay cuatro dígitos distintos.
2. El dígito $1$ se utiliza dos veces.

Hay $4! = 24$ formas de ordenar los cuatro dígitos distintos $1, 2, 3, 4$ .

Si el dígito $1$ se utiliza dos veces, debemos seleccionar dos de las cuatro posiciones para que sean ocupadas por un $1$ . Entonces tenemos tres opciones para la posición abierta más a la izquierda y dos opciones para la posición restante. Por lo tanto, el número de números de cuatro cifras que se pueden formar con los dígitos $1, 1, 2, 3, 4$ si el dígito $1$ se repite es $$\binom{4}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 6 \cdot 3 \cdot 2 = 36$$ Por lo tanto, el número de números de cuatro dígitos que se pueden formar con las cifras $1, 1, 2, 3, 4$ es $$4! + \binom{4}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 24 + 36 = 60$$

Para determinar la suma de estos $60$ números, consideramos los casos.

Se utilizan cuatro dígitos distintos: Por simetría, cada uno de los cuatro dígitos $1, 2, 3, 4$ se utiliza en cada posición $$\frac{4!}{4} = \frac{24}{4} = 6$$ tiempos. Por lo tanto, la suma de los números de cuatro dígitos formados con las cuatro cifras distintas $1, 2, 3, 4$ es $$6(1 + 2 + 3 + 4)(10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0) = 6 \cdot 10 \cdot 1111 = 66660$$ En cada uno de los $36$ números de cuatro dígitos formados con las cifras $1, 1, 2, 3, 4$ en el que el dígito $1$ se utiliza dos veces, la mitad de los dígitos utilizados son $1$ 's. Por simetría, el dígito $1$ debe aparecer $$\frac{36}{2} = 18$$ veces en cada posición. Por simetría, los dígitos $2, 3, 4$ debe aparecer $$\frac{18}{3} = 6$$ veces en cada posición. Por lo tanto, la suma de los números de cuatro dígitos formados con las cifras $1, 1, 2, 3, 4$ en el que $1$ aparece dos veces es $$\begin{align*} 18(10^3 & + 10^2 + 10^1 + 10^0) + 6(2 + 3 + 4)(10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)\\ & = 18 \cdot 1111 + 6 \cdot 9 \cdot 1111\\ & = 18 \cdot 1111 + 54 \cdot 1111\\ & = 72 \cdot 1111\\ & = 79992 \end{align*}$$ Como los dos casos son mutuamente excluyentes, la suma de todos los números de cuatro dígitos que se pueden formar con las cifras $1, 1, 2, 3, 4$ es $$66660 + 79992 = 146652$$

Answer 2

Asumiendo que la repetición de dígitos está permitida (aunque la formulación de la pregunta 3. sugiere lo contrario, véase la otra respuesta), has encontrado correctamente que hay $625$ Números de 4 dígitos con las cifras $1,2,3,4,5$ . Estos números son de la forma $$10^3d_{k,3}+10^2d_{k,2}+10^1d_{k,1}+10^0d_{k,0}$$ con $k=1,2,\dots625$ y por tanto su suma es igual a $$\sum_{k=1}^{625}\left(10^3d_{k,3}+10^2d_{k,2}+10^1d_{k,1}+10^0d_{k,0}\right)=\sum_{j=0}^{3}10^j\sum_{k=1}^{625}d_{k,j}$$ Ahora, debido a la simetría, cada dígito se utiliza en cada posición exactamente con la misma frecuencia que cualquier otro número, es decir $625/5=125$ veces, dando que $$\sum_{k=1}^{625}d_{k,j}=125(1+2+3+4+5)=125(15)=1875$$ para cualquier $j=0,1,2,3$ . Por lo tanto, $$\begin{align}\sum_{j=0}^{3}10^j\sum_{k=1}^{625}d_{k,j}&=\sum_{j=0}^{3}10^j\cdot1875=\left(10^3+10^2+10^1+10^0\right)\cdot1875=2083125\end{align}$$ Esto también es necesario para la pregunta 3. en la que simplemente hay que cambiar $5$ a $1$ . Su respuesta $(256)$ en la primera parte de 3. también es correcta.