Un argumento similar al descrito aquí muestra que el sup-norma de$f''$ en$[0,1]$ se puede delimitar en términos de los sup-normas de$f$,$f'$, y $f'''$. ¿Puede la sup-norma de$f''$ estar limitada en términos de sup-normas de$f$ y$f'''$ solo, sin asumir un límite en$f'$? ¿Hay contraejemplos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Configuración $p,q,r = \infty$, $n=1$, $j=2$, $m=3$ en el Gagliardo-Nirenberg interpolación de la desigualdad de los rendimientos de $$\sup |f''| \le C \sup |f'''|^{2/3} \sup |f|^{1/3}.$$
Usted puede establecer esto con bastante facilidad a partir de la más fácil de casos $$\|f'\| \le c \|f''\|^{1/2} \|f\|^{1/2},$$
donde yo estoy usando $\| \cdot \|$ de la sup de la norma. Esta es una cuantificación de la siguiente hecho: si la velocidad es grande en algún momento, entonces la única manera de hacer que la cilindrada pequeña es la imposición de una gran aceleración. Esto es sin ningún tipo de condición en el dominio (que no de un solo canal).
La aplicación de esta dos veces (una para las funciones de $f'$$f$) de los rendimientos de $$\|f''\| \le c \|f'''\|^{1/2} \|f'\|^{1/2}\le c \|f'''\|^{1/2} (c \|f''\|^{1/2} \|f\|^{1/2})^{1/2}= c^{3/2} \|f''\|^{1/4} \|f'''\|^{1/2}\|f\|^{1/4}.$$
Ahora solo hay que dividir ambos lados por $\| f''\|^{1/4}$ conseguir $$\|f''\|^{3/4} \le c^{3/2} \|f'''\|^{2/4} \|f\|^{1/4},$$
que es el G-N de la desigualdad he dicho con $C = c^2$.
