Función trigonométrica sesgada

Question

Lo que sería una expresión de una función periódica (período de $2\pi$) que en esencia se comporta como un negativo de la función seno, pero tiene la siguiente particularidad:

Es $0$s de la mentira en los lugares habituales (incluso múltiplos enteros de $\frac \pi 2$), pero los valores máximo y mínimo (de $\pm 1$), en lugar de estar en múltiplos impares de $\frac\pi 2$, la mentira desviado por un ángulo de $\alpha$ desde el incluso múltiplos enteros de $\frac \pi 2$. Estos son sólo los máximos y mínimos.

Se máximos y mínimos puede ser representado gráficamente de la siguiente manera:

En Naranja podemos ver la función de $-\sin (x)$, y los puntos Rojos representan los valores máximos y mínimos de la función (las líneas Grises representan solamente a las conexiones entre los puntos, no de la función).

Muy apreciado.

Answer 1

Un posible candidato es

$$y=-\sin\left[x-\left(\frac\pi 2-\alpha\right) y\right]$$

Esto puede no muy cumplen todas las especificaciones que se establecen en tu pregunta original, pero tiene las siguientes características:

• tiene valores de $0$ a $n\pi$
• cantidad mínima de puntos que han sido desplazadas de $\;(2n+\frac 12)\pi\;$ a $\; 2n\pi+\alpha\;$
• el máximo de puntos han sido desplazadas de $\;(2n-\frac 12)\pi\;$ a $\; 2n\pi-\alpha\;$
• el mínimo y el máximo de puntos de conservar los valores de $-1$ e $1$ respectivamente

Este gráfico creado en desmos.com podría ser útil.

https://www.desmos.com/calculator/jk52di8qvq

Answer 2

He descubierto la respuesta. Todo lo que necesita hacer es dibujar una elipse que sea tangente a las líneas$y = \pm 1$ en los puntos de intersección entre esas líneas y una línea de pendiente$\alpha$. La elipse también debe pasar por$(1,0)$,$(-1,0)$ y$(0,\sin(\alpha))$.

Al hacer esto, descubrí que la ecuación debe ser:

PS

Donde$$f(\theta) = \frac{sgn(\sin(\theta))\cdot sgn(\alpha)}{\sqrt{\cot(\theta)^2 - 2\cot(\alpha)\cdot\cot(\theta) + csc(\alpha)^2}}$ es la función de signo. Sería bueno poder obtener una expresión sin$sgn(x)$, pero por desgracia, parece que no puedo hacerlo.

Answer 3

Esto debería hacerlo con los valores correctos de$a$ y$b$: $$ x \ mapsto a \ sin x + b \ sin (2x) $$ Para obtener valores extremos en los puntos prescritos, necesitamos que el derivado sea$0$ en esos puntos. Entonces necesitamos \begin{align} -1 & = a\sin\alpha + b \sin(2\alpha) \\ 0 & = a\cos\alpha+2b\cos(2\alpha) \end {align} En forma de matriz $$ \begin{bmatrix} \sin\alpha, & \sin(2\alpha) \\ \cos\alpha, & 2\cos(2\alpha) \end {bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end {bmatrix} $$

Puedes resolver para$a$ y$b$ por eliminación gaussiana.