Integral

Question

Al resolver esto: $$ \begin{align} \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+4}} &=\int\frac{t(-1/t^2)dt}{\sqrt{(1/t)^2+4}}\tag{t=1/x}\\ &=\int\frac{(-1/t)dt}{(1/t)\sqrt{1+4t^2}}\\ &=-\frac12\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+1/4}}\\ &=-\frac12\ln(t+\sqrt{t^2+1/4})+C\\ &=-\frac12\ln(1/x+\sqrt{1/x^2+1/4})+C\\ &=-\frac12\ln\left(\frac{2+\sqrt{4+x^2}}{2x}\right)+C\\ &=\color{green}{\frac12(\ln(x)-\ln(2+\sqrt{4+x^2}))}+C\tag{%#%#%}\\ \end {align} $$ Lo obtuve, pero la respuesta dada en el libro de texto es$\ln(2x)=\ln(x)+\ln2$ No veo ninguna relación entre ellos, ¿mi respuesta es incorrecta? Junto con la respuesta a esta pregunta, arroje algo de luz sobre este tema relacionado que puede ocurrir con otras integrales y etc.

Answer 1

Puede ver que su respuesta es correcta y que la respuesta dada es incorrecta porque$$\left(\frac 12\left(\ln (x)-\ln\left(2+\sqrt{4+x^2}\right)\right)\right)'=\frac{1}{x\sqrt{x^2+4}}$ $$$\left(\ln\left[(x+1/2)+\sqrt{x^2+x+1}\right]\right)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}$ $