Considerar esta probabilidad experimento:
Un barril está lleno de $n$ granos de arroz. Todos los granos son de color blanco, a excepción de un solo grano de arroz.
Escoge un grano al azar desde el barril. Observar y poner de nuevo en el barril. Hacer esto $n$ veces. Para valores muy grandes de $n$, ¿cuál es la probabilidad de que usted nunca tomó el grano de arroz integral?
En cualquier iteración de este procedimiento, la probabilidad de escoger el color marrón de grano es $P_{brown}=\frac{1}{n}$. Por lo que la probabilidad de escoger un blanco de grano en una iteración dada es $1-\frac{1}{n}$. Por lo tanto, la probabilidad de escoger un blanco de grano $n$ veces es:
$$ P_n=(1-\frac{1}{n})^n $$
Y por muy grande $n$, obtenemos:
$$ P = \lim_{n \to \infty}{(1-\frac{1}{n})^n} $$
Empíricamente, es fácil ver que este límite es igual a $\frac{1}{e}$. Por ejemplo, se puede conectar $n=999,999,999$ para obtener:
$$ \frac{1}{P_{999,999,999}} = (1-\frac{1}{999,999,999})^{-999,999,999} $$
Esto equivale a equivale a 2.7182817629, que es dentro de $10^{-7}$ de % de$e$. Ahora, observe cuán similar es el límite mencionado anteriormente, uno de los más populares definiciones de $e$:
$$ e \equiv \lim_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})^n} $$
La única diferencia es que el "$-$" es ahora un "$+$".
He aquí la pregunta que mi cubo de la basura y he estado luchando con: ¿cómo se puede demostrar que
$$ \lim_{n \to \infty}{P_n} = e^{-1} $$
o, de manera equivalente, que
$$ \lim_{n \to\ \infty}{(1-\frac{1}{n})^n} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty}{(1+\frac{1}{n})^n}} $$
