Para la pregunta 0:
Se nos da una función continua $f(x)$ con la propiedad 2-limitada. Dibuja una línea $l(x)=f(0)+x\left(f(1)-f(0)\right)$ entre $f(0)$ y $f(1)$ y decidir si $f(\frac{1}{2})$ se encuentra por encima o por debajo de la línea. No es posible que $f(\frac{1}{2})$ se encuentra en la línea, que viola la propiedad 2-limitada.
A partir de ahora asuma que $f(\frac{1}{2})$ se encuentra bajo la línea (es decir $f(\frac{1}{2})<l(\frac{1}{2}))$ ; si no es así, considere $-f(x)$ y observe que el cambio de signo no cambia la propiedad cóncava/convexa.
De esto se deduce que $f(x)<l(x)$ por cada $x \in (0,1)$ . Supongamos lo contrario, y $f(y)\geq l(y)$ , $y \in (0,1)$ . Entonces, del teorema del valor intermedio, se deduce que $f(x)$ y $l(x)$ tienen otra intersección, (no siempre estrictamente) entre $\frac{1}{2}$ y $y$ .
De forma análoga se deduce que $f(x)>l(x)$ por cada $x\notin[0,1]$ .
Ahora elegimos otra línea $m(x)$ entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$ , $x_1<x_2$ . Supongamos que $l(x)$ y $m(x)$ no tienen el mismo derivado.
Para justificar esto; si $x_1<0 \land x_2>1$ , dibujar una línea desde $f(x_1)$ a $f(0)$ y una línea de $f(0)$ a $f(x_2)$ . Si $x_1\in(0,1) \land x_2>1$ o $x_1<0 \land x_2\in(0,1)$ , $l$ y $m$ no tienen el mismo derivado. Si $x_1,x_2\in(0,1)$ , dibujar $l$ entre dos puntos diferentes $y_1$ y $y_2$ , de tal manera que $x_1,x_2\in(y_1,y_2)$ no ocurre. Si $x_1,x_2<0$ o $x_1,x_2>1$ , dibujar una línea desde $x_1$ a $1$ o de $0$ a $x_2$ Estas líneas tienen tres intersecciones con $f(x)$ .
Porque $l$ y $m$ no tienen la misma derivada, sigue $l(x)<m(x)$ para grandes $x$ , ya sea negativo o positivo. Supongamos que es negativo, de lo contrario, consideremos $f(-x)$ .
De esto se deduce que $f(x)>m(x)$ por cada $x<x_1$ . Sabemos que este es el caso de los grandes $|x|$ cuando $x$ es negativo. Si existe $y<x_1$ con $f(y)\leq m(y)$ hay otra intersección para $z\leq y$ .
Ahora queremos $f(x)<m(x)$ por cada $x\in (x_1,x_2)$ . Supongamos lo contrario, entonces tenemos $y\in (x_1,x_2)$ con $f(y)>m(y)$ . Si $f(y)=m(y)$ hay otra intersección, esto no puede suceder. Para ello, trazamos una línea $n(x)$ de $f(x_1-\epsilon)$ a $f(x_2)$ , $\epsilon>0$ , $\epsilon$ pequeño. Obsérvese que $f(x_1-\epsilon)>f(x_1)$ . Porque $f(x_1)$ se encuentra bajo la línea, y $f(y)$ se encuentra por encima de la línea (¿cómo precisar esto?), tenemos otra intersección.
Por lo tanto, concluimos que $f(x)<m(x)$ por cada $x\in (x_1,x_2)$ y se demuestra la convexidad.
