Problemas para entender la suma de subespacios

Question

Empecé a repasar álgebra lineal, de un libro de texto diferente (Axler's), después de tomar una clase de verano de ritmo rápido. Por desgracia, me he confundido con un concepto que se introduce al final del capítulo uno. Es decir, suma de subespacios.

El texto de Axler define la suma de subespacios del siguiente modo.

Sea $U_1,U_2,...,U_m$ sean subespacios de un espacio vectorial $V$ . Entonces decimos $U_1+U_2+...+U_m=\{u_1+...+u_m:u_1\in U_1,...,u_m\in U_m\}$

Creía haber entendido este concepto, pero me temo que no es así porque tengo problemas para responder a las siguientes afirmaciones que nos pide que verifiquemos.

Primero que si dejamos que $U_1,U_2,...,U_m$ sean subespacios de un espacio vectorial $V$ entonces la suma de estos subespacios es un subespacio de $V$ .

Además, esto es lo que realmente me hizo pensar que lo entendía. Deje que $U=\{(x,0,0)\in \mathbb R^3: x\in \mathbb R\}$ y $W=\{(0,y,0)\in \mathbb R^3:y\in \mathbb R\}$ entonces $U+W= \{(x,y,0):x,y\in \mathbb R\}$ . Así que este ejemplo me hizo pensar que era bastante sencillo y que lo entendía, pero en las siguientes líneas dice deja que $Z= \{(y,y,0)\in \mathbb R^3:y\in\mathbb R\}$ . Entonces $U+W=U+Z$ (que me piden que verifique).

¿Podría alguien ayudarme a entender la definición y las comprobaciones?

EDIT: Actualmente veo que la definición dice que cuando tomamos una colección de conjuntos que son subespacios la suma de los conjuntos es un conjunto que consiste en la suma de todos sus elementos. Sin embargo cuando digo eso me parece que el conjunto sumado consiste en un solo elemento (la suma total de todos los elementos).

Gracias

Answer 1

Un punto que puede confundirte es que se utilizan las mismas letras, reescribamos esto.

1. Si tiene algún elemento de $U+W$ entonces es de la forma $(x,y,0)$ para algunos $x,y$ .

2. Si tiene algún elemento de $U+Z$ entonces es de la forma $(v+w,w,0)$ para algunos $v,w$ .

Ahora bien, la afirmación es que estos dos realmente producen la misma colección de elementos. Supongo que puedes ver que cada elemento de la segunda forma es de la primera. Más concretamente, si elegimos un elemento genérico $ (v+w, w,0) $ en $U+Z$ podemos expresar equivalentemente el elemento de la forma $ (x,y,0) $ estableciendo $ x = v + w$ y $ y = w $ . Esto demuestra que $ U + Z \subset U + W$ .

Para la otra dirección podemos seleccionar un elemento arbitrario $(x, y, 0) $ de $ U + W $ y reexpresarlo en la forma $(v+w,w,0)$ estableciendo $ v = x - y $ y $ w = y $ . Este último muestra $ U + W \subset U + Z$ .

Las dos relaciones de subconjunto $U+Z \subset U+W $ y $ U + W \subset U + Z$ implican que $U+Z = U+W$ .

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Añadido tras la edición: un único elemento de la suma $U+W$ es un elemento de $U$ más un elemento de $W$ . Y $U+W$ es el conjunto de todos estos elementos.

Así que, desde entonces $(19,0,0)$ en $U$ y $(0,-3,0)$ en $W$ que $(19,0,0)+(0,-3,0)$ en $U+W$ . Sin embargo, por supuesto, puede evaluar esa suma $(19,0,0)+(0,-3,0)= (19,-3, 0)$ .

Answer 2

En primer lugar, se puede demostrar que la suma de subespacios es también un subespacio directamente de la definición. Por ejemplo, si $$ u_{1}+...+u_{m}\in U_{1}+...+U_{m} $$

donde $u_{i}\in U_{i}$ y $$ u_{1}'+...+u_{m}'\in U_{1}+...+U_{m} $$

donde $u_{i}'\in U_{i}$ entonces $$ u_{1}+...+u_{m}+u_{1}'+...+u_{m}'=(u_{1}+u_{1}')+...+(u_{n}+u_{n}') $$

y puesto que $U_{i}$ es un subespacio cerrado por adición, por lo que $u_{i}+u_{i}'\in U_{i}$ y por tanto la suma anterior está en $U_{1}+...+U_{m}$ .

En cuanto a su segundo ejemplo: $U+W=\{(x,y,0)|\, x,y\in\mathbb{R}\}$ es tan sencillo como parece, la parte que parece un poco extraña es encontrar $U+Z$ y vamos a trabajar por definición para entender lo que es:

$$ U=\{(x,0,0)|\, x\in\mathbb{R}\} $$ $$ Z=\{(y,y,0)|\, y\in\mathbb{R}\} $$

Si $$ u+z=(a,b,c) $$

entonces claramente $c=0$ . Afirmamos que si $(x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}^{2}$ entonces hay algunos $u\in U,z\in Z$ s.t $a=x_{0},b=y_{0}$ - En efecto $u+z$ es de la forma $$ (x,0,0)+(y,y,0)=(x+y,y,0)=(x_{0},y_{0},0) $$

entonces tenemos la solución $$ y=y_{0} $$ $$ x=x_{0}-y_{0} $$

y si desea verificar $$ (x_{0}-y_{0},0,0)+(y_{0},y_{0},0)=(x_{0},y_{0},0) $$

Así que $$ \{(x,y,0)|x,y\in\mathbb{R}\}\subseteq U+Z $$

y la otra contención es clara, por lo que los dos conjuntos son de hecho iguales.

Espero que esto aclare las cosas, por favor comente si no es así

Answer 3

La suma de $U_1$ y $U_2$ contiene cualquier cosa que pueda obtenerse añadiendo algo de $U_1$ a algo de $U_2$ .

Dices que entiendes por qué $U+W$ en este ejemplo es igual a $\{(x,y,0) : x,y\in \Bbb R\}$ así que parece que estás perplejo sobre por qué $U+Z$ también es igual a esto.

La suma de $U$ y $Z$ es cualquier cosa que pueda obtenerse añadiendo algo de $U$ a algo de $Z$ . La afirmación es que esto es igual a $U+W$ . Para ser iguales, los dos espacios deben contener los mismos vectores. Así que la afirmación es que podemos obtener cualquier vector $(x,y,0)$ de $U+W$ añadiendo algo de $U$ a algo de $Z$ y también que podemos sólo obtener vectores de esa forma.

Así que tienes que demostrarlo:

1. Si añade algo de $U$ a algo de $Z$ la suma debe tener la forma $(x,y,0)$ que mostrará que está en $U+W$ .
2. Cualquier vector $(x,y,0)$ que se encuentra en $U+W$ también puede obtenerse añadiendo algo de $U$ a algo de $Z$ .

Answer 4

Yo también estoy leyendo del mismo libro, esto es lo que he entendido hasta ahora.

Digamos que tienes un elemento $u \in U$ esto significa que tiene la forma de $(x, 0, 0) \in \mathbb R^3$ para algunos $x \in \mathbb R$ . Por ejemplo $(1,0,0)$ es un elemento de $U$ ya que satisface esta definición.

Del mismo modo, $W$ se define como el conjunto de todos los elementos que satisfacen $(0,y,0)\in \mathbb R^3$ para algunos $y\in \mathbb R$ . Por ejemplo $(0,\sqrt{2},0) \in W$

Ahora para vertificar la suma $U + W$ desea encontrar la "forma general" que debe tener un elemento para estar en $U + W$

Digamos que añadimos $(1,0,0)$ y $(0,\sqrt{2},0)$ para obtener $(1,\sqrt{2},0)$

Como esto es arbitrario, podemos decir que la forma general de los elementos del conjunto $U + W$ siempre será $(x, y, 0) \in \mathbb R^3$ para algunos $x, y \in \mathbb R$

Del mismo modo para $U + Z$ podemos poner un ejemplo: $(0.5, 0.5, 0) \in Z$ tal que la suma $(1,0,0)$ y $(0.5, 0.5, 0)$ siempre me dará una forma general de $(x, y, 0) \in \mathbb R^3$ para algunos $x, y \in \mathbb R$

Dado que la suma de dos subespacios es el conjunto de todas las sumas posibles de elementos de estos subespacios, los conjuntos $U+W$ y $U+Z$ deben contener los mismos elementos, por lo tanto son iguales.