Mientras que jugando con la integral $$\int_a^b \Gamma(z)dz$$ Me encontró accidentalmente la identidad $$\int_a^b \Gamma(z)dz=\int_0^1 \frac{1}{z}\big[\Gamma(b+\ln(z))-\Gamma(a+\ln(z))\big]dz$$ Pero me temo que esta identidad no puede ser verdad, como cuando traté de probarlo con $a=1$, $b=2$, Wolfram Alpha no me daría un valor para la segunda parte. Aquí está mi derivación de esta identidad:
$$\int_a^b \Gamma(z)dz$$ $$=\int_a^b \int_0^\infty x^{z-1}e^{-x} dx dz$$ $$=\int_0^\infty \frac{x^{b-1}e^{-x}-x^{a-1}e^{-x}}{\ln(x)} dx dz$$
Ahora definir la función de $I(n)$ como $$I(n)=\int_0^\infty \frac{x^{b-1}e^{-x}-x^{a-1}e^{-x}}{\ln(x)}n^{\ln(x)} dx$$ De modo que $I(0)=0$ e $I(1)=\int_0^\infty \frac{x^{b-1}e^{-x}-x^{a-1}e^{-x}}{\ln(x)} dx dz$. Entonces tenemos $$I'(n)=\int_0^\infty (x^{b-1}e^{-x}-x^{a-1}e^{-x})n^{\ln(x)-1} dx$$ $$I'(n)=\frac{1}{n}\int_0^\infty (x^{b-1}e^{-x}-x^{a-1}e^{-x})n^{\ln(x)}dx$$ $$I'(n)=\frac{1}{n}\int_0^\infty (x^{b-1}e^{-x}-x^{a-1}e^{-x})x^{\ln(n)} dx$$ $$I'(n)=\frac{1}{n}\int_0^\infty x^{\ln(n)+b-1}e^{-x}-x^{\ln(n)+a-1}e^{-x} dx$$ $$I'(n)=\frac{1}{n}\int_0^\infty x^{\ln(n)+b-1}e^{-x}-x^{\ln(n)+a-1}e^{-x} dx$$ $$I'(n)=\frac{1}{n}\big[\Gamma(\ln(n)+b)-\Gamma(\ln(n)+a)\big]$$ Y debido a que el indicado previamente los valores de $I(0)$ e $I(1)$, $$\int_a^b \Gamma(z)dz=I(1)-I(0)$$ $$\int_a^b \Gamma(z)dz=\int_0^1 I'(n) dn$$ $$\int_a^b \Gamma(z)dz=\int_0^1 \frac{1}{n}\big[\Gamma(\ln(n)+b)-\Gamma(\ln(n)+a)\big] dn$$
Cualquiera puede exponer el error en esta derivación, o confirmar que es correcta?
