Dejemos que $A=(2014,2016]$ . ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
(a) $\sup A=2016$ y $\inf A=2014$
(b) $\sup A=2014$ y $\inf A=2016$
(c) $\sup A=2016$ y $\inf A$ no existe
(d) $\sup A$ no existe y $\inf A=2014$
(e) Ambos $\sup A$ y $\inf A$ no existen.
Mi intento
Como no hay número mínimo posible inf no existe y $\sup(A)=2016$ . ¿Es correcto mi argumento?
Estás confundiendo entre el mínimo y el infimo. El mínimo es el mayor límite inferior del conjunto. Así que la definición no dice que el mínimo deba pertenecer al propio conjunto. Si pertenece al conjunto, se llama mínimo. Entonces, ¿cuál es el mayor límite inferior del conjunto? Obviamente es $2014$ . ¿Por qué? En primer lugar, es un límite inferior. Y es fácil ver que cualquier número mayor que $2014$ ya no es un límite inferior de $A$ .
Esto aclara mis dudas. Así que aquí el Maximum y el Supremum son ambos de 2016. Pero sólo infimum es 2014 derecho?
Sí. En general, si existe un máximo entonces es igual al supremum. Si existe un mínimo, entonces es igual al ínfimo. Así que en tu ejemplo el supremum es $2016$ y también es un máximo. $2014$ es el infimo pero no es un mínimo. El conjunto no tiene un mínimo.
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No es cierto que no haya un mínimo. El mínimo no es el número más pequeño de un conjunto. Es el mayor límite inferior de un conjunto.