Demostrando $\frac{1}{\sqrt{1-x}} \le e^x$ a $[0,1/2]$.

Question

Hay una manera simple de probar $$\frac{1}{\sqrt{1-x}} \le e^x$$ on $x \in [0,1/2]$?

Algunas de mis observaciones de terrenos, etc.:

• La igualdad se alcanza en $x=0$ y cerca de $x=0.8$.
• La derivada es positiva en $x=0$, y cero poco después de $x=0.5$. [No sé cómo encontrar este cero analíticamente.]
• Traté de trabajar con series de Taylor. He verificado con las parcelas que el siguiente es verdadero en $[0,1/2]$: $$\frac{1}{\sqrt{1-x}} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} + \frac{3/4}{(1-\xi)^{5/2}} x^3 \le 1 + \frac{x}{2} + \frac{3}{8} x^2 + \frac{5 \sqrt{2} x^3}{6} \le 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \le e^x,$$ pero probando la última desigualdad es un poco desordenado.

Answer 1

Para nuestro intervalo, la desigualdad es equivalente a $1-x\ge e^{-2x}$. (Que al cuadrado y se levanta.)

Esta desigualdad se puede probar usando el cálculo diferencial. Deje $f(x)=1-x-e^{-2x}$. A continuación,$f'(x)=2e^{-2x}-1$. Por lo $f(x)$ es el aumento de hasta el $x=\frac{\ln 2}{2}\approx 0.34$ y luego disminuye. Por lo tanto todo lo que tenemos que hacer es comprobar su valor en $x=1/2$.

Answer 2

Tenemos

$$-2 \ln \sqrt{1-x}=-\ln(1-x)= \int_{1-x}^1\frac{dt}{t} \leqslant \frac{x}{1-x}.$$

Para$0 \leqslant x \leqslant 1/2$, $2(1-x) \geqslant 1$ y

$$-\ln \sqrt{1-x} < \frac{x}{2(1-x)} \leqslant x.$$

Por lo tanto,

$$\frac{1}{\sqrt{1-x}} = \exp[-\ln(\sqrt{1-x})]\leqslant e^x.$$

Answer 3

Si $f(x)=(1-x)e^{2x}$, $f'(x)=(1-2x)e^{2x}=0$ al $x=\frac{1}{2}$. Dibujo de un gráfico/comprobación de la segunda derivada demuestra que es un máximo, de donde $1=f(0)\le f(x)\le f(1/2)=\frac{e}{2}$$[0,\frac{1}{2}]$. Por lo tanto tenemos:

$$1\le(1-x)e^{2x}\le\frac{e}{2}$$

$$\implies \frac{1}{1-x}\le e^{2x}\le\frac{e}{2(1-x)}$$

$$\implies \frac{1}{\sqrt{1-x}}\le e^x \le \sqrt{\frac{e}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x}}$$

en el intervalo dado.

La razón por la que elegí este enfoque es que mucho de la misma manera como los niños pequeños hacen la mayoría de sus errores aritméticos cuando se trata de las fracciones y los números negativos, me encuentro mucho más a gusto cuando las fracciones, raíces cuadradas, funciones inversas y tales son despejado (aun soy muy reacio a las cociente regla de la diferenciación). Así que ocuparse de $(1-x)e^{2x}$ es muy preferible para mí, y está configurado de tal manera que los límites saldrá naturalmente.