Demostrando cada derivados de $\sqrt\cos x$ es ilimitado?

Question

Esta pregunta está relacionada con uno de los que he publicado hoy. Estoy $99$% seguro de que la afirmación es verdadera, y yo, por supuesto, pueden demostrar que para los primeros dos o tres derivados, pero no sé cómo saltar para el caso infinito. Es la inducción de algún tipo de orden? No estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Supongamos $f:(a,b)\to\mathbb R$ es ilimitado arriba y diferenciable. Reclamo: $f': (a,b)\to \mathbb R$ es ilimitado.

Prueba: Supongamos $n\in \mathbb N$. Nuestro objetivo es encontrar a $c\in (a,b)$ tal que $ f'(c) >n$. Deje $z=\frac{b-a}{2}$. Desde $f$ es ilimitado anteriormente, no existe $x\in (a,b)$ tal que $f(x) > (b-a)n+f(z)$. Supongamos $x>z$; si $x<z$, entonces la prueba funciona de forma similar (aunque $f'$ será ilimitado), y si $x=z$, entonces podemos elegir algún otro $x$ que satisface la desigualdad. A continuación, por el valor medio teorema, existe $c\in (z,b)$ tal que $$f'(c) = \frac{f(x)-f(z)}{x-z} \geq \frac{f(x)-f(z)}{b-a} > \frac{1}{b-a}((b-a)n+f(z)-f(z))=n$$ Desde que esto funciona para cualquier $n$, $f'$ es ilimitado. Un reclamo similar ocurre si $f$ es ilimitado a continuación.

Así, desde la $\sqrt{\cos x}$ es infinitamente diferenciable y desde su primera derivada es ilimitado, es el siguiente (el uso de la inducción) que cada mayor de derivados es ilimitado.

Answer 2

$f(x) = \sqrt{\cos x}\implies |f'(x)| = \dfrac{|\sin x|}{2\sqrt{\cos x}}$. Tenemos: $|f'(x)| \to +\infty$ al $x \to \frac{\pi}{2}^{-}$, esto es suficiente para mostrar la $f'(x)$ es no acotada.

Answer 3

vamos $c=\sqrt{\cos 2x}$, $s=\sqrt{\sin 2x}$, $t=\sqrt{\tan 2x}$, y deje $D$ ser la diferenciación operador w.r.t. $x$, así: $$ \begin{align} Dc &= -st \\ Ds &= \frac{c}{t} \\ Dt &= t^3+\frac1t \end{align} $$ un poco de álgebra, junto con Leibniz regla para diferenciar un producto, muestra que a $x \to \frac{\pi}4$ e $t \to \infty$ el diferencial coeficiente de $D^n c$ está dominado por el plazo $-st^{2n-1}$