Encuentra una fórmula para el número de soluciones...

Question

Encuentra una fórmula para el número de soluciones a $$ x_1 + x_2 + x_3 + \ldots + x_k = n $$ donde $n \ge 0$ y los $x_i$ son enteros no negativos. Por ejemplo, si $n > 0$ entonces hay exactamente una solución para $x_1 = n$. Hay $n + 1$ soluciones para $x_1 + x_2 = n$. ¿Cuántas soluciones hay para la ecuación $x_1 + x_2 + x_3 = n$ cuando $k = 3$? Haz una tabla de valores para varios $n$ y $k$ y generaliza tu respuesta para $k > 3$.

No estoy seguro de cómo comenzar esta pregunta, pero de alguna manera está relacionada con n!

Answer 1

Pista: hay una interpretación interesante de tu pregunta: Supongamos, por ejemplo, que $k=3$ y $n=5$. Entonces dibuja $n$ bolas y $k-1$ paredes, en algún orden: $$ \circ\circ\mid\circ\mid\circ\circ $$ Esto se puede interpretar como el número 5 escrito como $2+1+2$. Usando esta idea, ¿puedes resolver la pregunta?