Demostrar que no existen enteros positivos $m$ y $n$ para lo cual $m^2+m+1=n^2$

Question

El problema: Demostrar que no existen enteros positivos $m$ y $n$ para lo cual $m^2+m+1=n^2$ .

Esto es parte de un curso de introducción a las pruebas, por lo que en este punto, la maquinaria matemática no debería ser demasiado complicada. Se supone que esto se demuestra por contradicción. He estado jugando con esto un poco y no puedo evitar sentir que me estoy perdiendo algo completamente obvio. Mi primer instinto fue evaluar esto caso por caso basándome en las combinaciones de par e impar para m y n, lo que llevó a contradicciones en el caso de que tanto m como n sean pares o que m sea impar y n sea par (la contradicción es que el cero equivale a un número impar). El problema viene cuando se intenta encontrar una contradicción en la que n es un número impar positivo y m es par o impar.

A continuación, traté de abordarlo mostrando que si $n^2=m^2+m+1$ y n es un número entero positivo, que $(m^2+m+1)^{\frac{1}{2}}$ debe ser un número entero positivo, y que esto lleva a una contradicción. Ciertamente, parece que será así, ya que, para los primeros valores enteros positivos de m, obtenemos $3^{\frac{1}{2}}$ , $7^{\frac{1}{2}}$ , $13^{\frac{1}{2}}$ , $21^{\frac{1}{2}}$ , ninguno de los cuales es un número entero positivo, pero al menos en este momento, no sé cómo demostrarlo con una prueba.

Se agradecería mucho un leve guiño en la dirección correcta. Acabo de empezar con estas cosas, así que cualquier ayuda/opinión sería genial.

Answer 1

Una pista: Si tal $n$ existía, entonces tendría que ser entre $m$ y $m+1$ desde $$m^2<m^2+m+1<m^2+2m+1=(m+1)^2.$$

Answer 2

La respuesta de Clayton es ciertamente más simple que esto, pero aquí hay una alternativa.

Multiplica ambos lados por $4$ y lo consigues:

$$(2n)^2 = 4m^2+4m+4 = (2m+1)^2 + 3$$

Así que $$(2n-(2m+1))(2n+(2m+1)) = 3$$

Esto significa que $3$ puede ser factorizado en dos números que difieren en $4m+2$ . Esto significa que $m=0$ o $m=-1$ .