La forma cerrada de $\sum_{k=0}^nk\binom{k}{3}\binom{2n}{k}$

Question

Recientemente, me encontré con el siguiente ejercicio, en el curso de matemáticas discretas

Encontrar una forma cerrada para $\sum_{k=0}^nk\binom{k}{3}\binom{2n}{k}$

Así que traté de algunas de las técnicas habituales: Vamos a $f(x)=\sum_{k=0}^n\binom{2n}{k}x^k$.
Si denotamos $F(x)=\frac16x^3\left(xf'(x)\right)'''$ entonces $F(x)=\sum_{k=0}^nk\binom{k}{3}\binom{2n}{k}x^k$, por lo que la suma deseada es $F(1)$.
El problema aquí es que no puedo encontrar un cerrado expresión para $f(x)$. Claramente, $(1+x)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^k$, pero ¿cómo puedo sacar sólo la primera 'mitad' de los términos?

La segunda cosa que me probé fue a tomar $g(x)=(1+x)^{2n}$ y, a continuación, indicar $G(x)=\frac16x^3\left(xg'(x)\right)'''$.
A continuación,$G(x)=\sum_{k=0}^{2n}k\binom{k}{3}\binom{2n}{k}x^k$. Así, si nos fijamos en $$h(x)=G(x)\frac1{1-x}=\sum_{j=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^jk\binom{k}{3}\binom{2n}{k}\right)x^j$$ De modo que la suma deseada será el coeficiente de $x^n$. Pero aquí no funciona bien, como
$$h(x)=\binom{2n}{3}(2nx+3)\frac{(1+x)^{2n-4}}{1-x}$$ Pero no puedo encontrar una forma cerrada para el coeficiente de $x^n$.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

$$\sum_{k=0}^{n} k{k\elegir 3}{2n\elegir k}\\ =\sum_{k=0}^{n}\frac{k( k!)(2n)!}{(k-3)!3!k!(2n-k)!}\\ ={2n\elegir 3}\sum_{k=0}^{n}\frac{k(2n-3)!}{(k-3)!(2n-k)!}\\ ={2n\elegir 3}\sum_{k=0}^{n}k{2n-3\elegir k-3}\\ ={2n\elegir 3}\sum_{h=0}^{n-3}(h+3){2n-3\elegir h}\\ ={2n\elegir 3}\sum_{h=0}^{n-3}\left[(2n-3){2n-4\elegir h-1}+3{2n-3\elegir h}\right]\\ ={2n\elegir 3}\left[(2n-3)\left(2^{2n-5}-{2n-4\elegir n-2}/2-{2n-4\elegir n-3}\right)\\ +3(2^{2n-4}-{2n-3\elegir n-2})\right]$$