¿Qué es? $\int_{0}^{\infty}e^{ixw}dw$ ?

Question

Sabemos que $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{ixw}dw=\delta(x)$$ Para más detalles, véase http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

Ahora mi pregunta es $$\int_{0}^{\infty}e^{ixw}dw=?$$

Le agradecemos cualquier sugerencia.

Answer 1

La integral $$\int_0^\infty e^{i x w} dw$$ no existe en el sentido clásico. Sin embargo, vista como la transformada de Fourier de la Distribución de pasos de Heaviside $$\int_0^\infty e^{i x w}dw=\int_{-\infty}^\infty H(w) e^{i x w} dw= \pi \delta(x)+i \text{p.v.} \left( \frac{1}{x} \right) ,$$ donde $\text{p.v.}\left(\frac{1}{x} \right)$ es el distribución del valor principal .

Answer 2

Voir http://www.artofproblemsolving.com/Forum/blog.php?u=152939&b=93736

Pero no parece tener relación con la distribución del valor principal.

Answer 3

\begin{align} \color{#ff0000}{\large\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}xw}\,{\rm d}w} &= \int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}xw}\,\Theta\left(w\right)\,{\rm d}w = \int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}xw} \left[-\int_{-\infty}^{\infty}{{\rm d}k \over 2\pi{\rm i}}\, {{\rm e}^{-{\rm i}kw} \over k + {\rm i}0^{+}}\right]\,{\rm d}w \\[3mm]&= {\rm i}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm d}k\,{1 \over k + {\rm i}0^{+}} \int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}w\left(x- k\right)} \,{{\rm d}w \over 2\pi} = {\rm i}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm d}k\, {\delta\left(k - x\right) \over k + {\rm i}0^{+}} = {{\rm i} \over x + {\rm i}0^{+}} \\[3mm]&= {\rm i}\left[{\cal P}\,{1 \over x} - {\rm i}\pi\,\delta\left(x\right)\right] = \color{#ff0000}{\large{\cal P}\,{{\rm i} \over x} + \pi\,\delta\left(x\right)} \end{align}

Esto se entiende "bajo el signo integral": $$ \int_{-\infty}^{\infty}{\rm f}\left(x\right) \left(\,\int_{0}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}xw}\,{\rm d}w\right)\,{\rm d}x = {\rm i}\,{\cal P}\int_{-\infty}^{\infty}{{\rm f}\left(x\right) \over x}\,{\rm d}x + \pi\,{\rm f}\left(0\right) $$