el distinto de cero elementos de Z3[i] forman un grupo abelian de la orden de 8 en virtud de la multiplicación. Es isomorfo a Z8??

Question

$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[i]$ es una parte integral de dominio, por lo que su carácter es un número primo.

Pero, en el fin de demostrar que es isomorfo a $\mathbb{Z}_8$, tenemos que demostrar que $\mathbb{Z}_3[i]$ tiene un elemento de orden $8$ con respecto a la multiplicación.

Estoy procediendo de la manera correcta?

Answer 1

Sí, calcular los órdenes de la $8$ elementos. Si uno tiene orden de $8$, por lo que se hace.

De hecho, no es necesario comprobar todos ellos, desde el $\mathbb{Z}_8$ ha $4$ generadores. Por lo que comprobar en la mayoría de las $5$ objetos para hacer el trabajo.

Calcular las órdenes de $1$, $-1$, $i$, $-i$, y $1+i$. Los cuatro primeros son fáciles de tratar. Todos ellos tienen orden de $\le 4$. Como a $1+i$, su cuadrado es $-i$, y ajustar de nuevo da $-1$, por lo que el orden es $8$.

Por supuesto que podría haber facturado $1+i$ primera!

Answer 2

Otra forma de acercamiento $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[i] \cong \mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)\cong \mathbb{F}_9$. Y $\mathbb{F}_9^{*}\cong C_8$, un grupo cíclico de orden $8$.