Prueba por inducción o contradicción que se $(4k + 3) ^2 - (4k + 3)$ no es divisible por $4$?

Question

Tengo que demostrar que $(4k + 3) ^2 - (4k + 3)$ no es divisible por $4$.

Cuál sería el mejor enfoque para esto, la prueba por inducción o contradicción?

Yo he probado ambos y no tengo muy lejos. Todas las sugerencias se agradece, yo no estoy buscando una respuesta completa..quiero probarlo yo mismo, pero necesito un poco de ayuda en dónde empezar.

Answer 1

El polinomio es lo suficientemente simple como que no hay ningún problema, simplemente se multiplica a cabo:

$$\begin{align*} (4k+3)^2-(4k+3)&=16k^2+24k+9-4k-3\\ &=16k^2+20k+6\\ &=4\left(4k^2+5k+1\right)+2\;, \end{align*}$$

lo que está claro que no es un múltiplo de $4$. Este es tal vez un poco menos elegante que njguliyev la solución, pero funciona muy bien.

Answer 2

$(4k + 3)^2 - (4k + 3) = (4k + 3)(4k + 3-1) = (4k + 3)(4k + 2)=2(4k + 3)(2k + 1)$.

Answer 3

Como

$$(4k+3)^2-(4k+3)=(4k+3)\{(4k+3)-1\}=(4k+3)(4k+2)$$

Ahora, $4k+3=2(2k+1)+1$ es impar

y

$4k+2=2(2k+1)\not\equiv0\pmod4$