Es esta la función de variación acotada?

Question

Considere la posibilidad de Riemann de la función definida en $\mathbb{R}$,

$$ R(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n^2 x}{n^2} . $$

Si usted gráfico, se puede ver que se muestra una gran cantidad de zigzag.

Por lo tanto, la pregunta es, es esta la función de variación acotada en $(0,2 \pi )$?

Answer 1

Recuerde que las funciones de variación acotada son diferenciables en casi todas partes. Ver aquí , por ejemplo, que su $R(x)$ es diferenciable en ningún lugar. Así, por contraposición, no es de variación acotada.

Answer 2

Solo estoy compartiendo mi opinión. Por favor no tome esto como una respuesta,

Diferenciar $R(x)$ y tomar el valor absoluto tenemos, $$|R'(x)|\le\sum_{n=1}^\infty |\cos (n^2x)|$$

Es la CARTA es acotada arriba por una cierta cantidad? Si no, entonces no es de Variación Acotada.

Nota: $|\cos x|\le 1,\forall x\in\mathbb{R}$