que puedo hacer 10 veces de lo que inicialmente se tienen?
Aquí está la descripción formal. En una feria de jugar, voy a perder o doblar mi apuesta cada uno con una probabilidad de 1/2. No importa cuánto dinero tengo, yo siempre apostar la mitad de mi dinero (el dinero es infinitamente divisible, por lo que yo no estoy en ruinas). Si empiezo con 1 dólar, y gano una vez que tengo 10 dólares o más, ¿cuál es la probabilidad de ganar?
Deje $X_n$ ser el dinero que tengo después de la enésima ronda. Por lo tanto $X_{n+1} = 1.5X_n$ o $0.5X_n$ cada uno con p = 1/2, y el proceso es una martingala. He intentado utilizar la opcion de detener teorema, mediante el establecimiento $\tau$ como el tiempo en el que mi dinero va de más de 10 o pasa por debajo de $\epsilon$ por primera vez y, a continuación, deje $\epsilon$ se aproxima a 0. El problema es, $X_{\tau}$ realidad nunca es igual a 10. De hecho, se encuentra en el intervalo [10,15). Por lo que el teorema sólo daría un límite en el deseado de probabilidad:
$E[X_{\tau}] = E[X_{\tau}|X_{\tau} \geq 10] \Pr (X_{\tau} \geq 10) + E[X_{\tau}|X_{\tau} \leq \epsilon] \Pr (X_{\tau} \leq \epsilon) $
Siguiente me tome $y$ como el logaritmo natural de dinero y deje $f(y)$ la probabilidad de que puedo ganar con el registro inicial de dinero $y$. Las siguientes fórmulas parecía prometedor:
$f(y) = 1, y \geq \ln 10$
$f(y) = 1/2 + f(y - \ln 2), \ln(20/3) \leq y < \ln 10$
$f(y) = f(y - \ln 2)/2 + f(y + \ln (3/2))/2, y < \ln(20/3)$
pero todavía no puedo encontrar la expresión analítica de $f(y)$. Ni siquiera estoy seguro de si $f$ es continua en a $y=\ln 10$ o $y = \ln (20/3)$.
Cualquier ayuda es muy apreciada.
