Hay no lineal de soluciones a $f(x+1) - f(x) = f'(x)$?

Question

Hay no lineal de soluciones a $f(x+1) - f(x) = f'(x)$?

(Preguntado por la cruz, en math.iuiui.edu en el Q&a en JMM.)

Answer 1

Sí, existen no lineal de las soluciones.

Multiplicando por $e^{x+1}$ y ajuste de $g(x):=e^x f(x)$ transforma la pregunta en la búsqueda de una solución a $g(x+1)=eg'(x)$ no de la forma $e^x(ax+b)$.

Comience con cualquier $C^\infty$ función en $\mathbb{R}$ cuya serie de Taylor centrada en $0$ $1$ son idénticas $0$, pero que es distinto de cero en algún lugar dentro de $(0,1)$. Restringir a $[0,1]$. Deje $g(x)$ $[0,1]$ ser este. El uso de $g(x+1):=eg'(x)$ $x \in [0,1]$ extends $g(x)$ $C^\infty$ función de $g(x)$$[0,2]$, la cual puede ser extendida a $[0,3]$, y así sucesivamente. En la otra dirección, el uso de $g(x) := \int_0^x e^{-1} g(t+1) dt$ definir $g(x)$$x \in [-1,0]$, y, a continuación, para $x \in [-2,-1]$, y así sucesivamente. Estas piezas juntas para dar una $C^\infty$ función de $g(x)$ sobre todo $\mathbb{R}$. El correspondiente $f(x)$ satisface $f(0)=0$$f(1)=0$, pero no es idéntica $0$, por lo que no es lineal.

Answer 2

Esta es una elaboración de Qiaochu del Yuan antes de comentar: hay soluciones complejas (de hecho, infinitamente muchos) a $e^t-1 = t$, y, a continuación, $e^{tx}$ es una solución.

Answer 3

Teorema 1 de [Sugiyama, Shohei. En los teoremas de existencia y unicidad de la diferencia-ecuaciones diferenciales. Kōdai De Matemáticas. Sem. República de 12 de 1960 179--190. MR0121552] (que probablemente se puede obtener a partir de aquí) da una existencia y unicidad teorema que proporciona no-lineal de las soluciones en finito de intervalos.