¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que una función de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a ser representado por un gráfico?

Question

Tengo curiosidad por saber la respuesta a esta pregunta.

¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que una función de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a ser representado por un gráfico ?

Por ejemplo, podemos representar cualquier trignometric (sin,cos, etc..) funciones mediante el trazado de un gráfico en una hoja de papel.

algunos de mis pensamientos

la diferenciabilidad es una condición que puedo pensar.. pero no estoy seguro de si es necesario a lo largo del todo el intervalo donde la función está definida. Otras cosas que me molesta son finitud del número de máximos y mínimos en el intervalo deseado. Oscilante singularidades debe ser definitivamente evitado.

Agregado : para ser capaz de dibujar el gráfico : yo no soy capaz de describir matemáticamente, pero es así. Dado un lápiz y un papel de suficiente dimensión, se puede dibujar la gráfica de la función en cualquier intervalo cerrado en su dominio, mediante el uso de una mano.

Answer 1

Creo que la noción que mejor capta este es rectifiability -- véase el artículo de Wikipedia sobre la longitud de arco de una definición. Brevemente, la curva es subsanables si se tiene una bien definida, longitud finita.

Ahora, ciertamente no se puede dibujar un gráfico de tamaño infinito, por lo que debe limitarse a un intervalo acotado $[a,b]$. Sugiero que una función $f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ es 'graphable' si su grafo {$(x,f(x)):x\in[a,b]$} consta de un número finito de subsanables en curvas. Tenga en cuenta que esto permite discontinuidades.

Answer 2

Supongo que por el gráfico estás, que significa lo siguiente:

El pedazo de papel tiene unas dimensiones por lo que las coordenadas están dentro del rango x=[0..m], y=[0..n]. A continuación, un punto en el papel es un par (x,y). Para ser un gráfico, un punto dibujado en negro si el par (x,f(x)) es el punto blanco y de otra manera. Esto tiene que suceder para todos los posibles de x, dentro del rango permitido. Cada par (x,y) se va a obtener un color mediante este procedimiento.

Ahora una función f : R->R y la gráfica tiene algunas propiedades que son importantes:

1. para cada x : R, existe sólo un número, y : R de modo que y = f(x).
2. Por lo tanto, la gráfica es un subconjunto de la pareja espacio RxR. Algunos puntos son de color negro, y otros son de color blanco, y los puntos negros forman un subconjunto.
3. para todos los puntos (x,f(x)) para estar en el papel, todos los pares deben estar dentro del rango correcto, lo que nos da: x : [0..m] y f(x) : [0..n]. Esto limita aún más que los valores de x están permitidos. Si f(x) no está dentro de [0..n], entonces x debe ser retirado del rango permitido [0..m] y se convierte en [0..s] y [s..m].
4. por el pecado/cos/canela etc gráficos sería permitido, usted puede ser que necesite para la escala y la posición de los valores de las coordenadas. De lo contrario, los valores negativos de f(x) no sería permitido. Escala pasa por la [s,r] => [ks,kr] y [s,r] => [s+a r+a].