La prueba de que un bijection tiene dos caras inversa

Question

Para un bijection $\alpha:A\rightarrow B$ definir un bijection $\beta: B\rightarrow A$ tal que $\alpha \beta $ es la función identidad $I:A\rightarrow A$ e $\beta\alpha $ es la función identidad $I:B\rightarrow B$.

Demostrar que $\alpha\beta$ o $\beta\alpha $ determina la $\beta $ de forma única.

Estoy andarse aquí. Puedo entender la premisa antes de probar eso, pero no tengo idea de cómo acercarse a este.

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La motivación de la pregunta en el libro es mostrar que bijections tiene dos caras, a la recíproca. Más tarde, preguntas para demostrar que surjections han dejado inversas y las inyecciones tienen derecho inversas, etc,

Answer 1

Voy a utilizar la notación $f$ $g$ en lugar de $\alpha$ $\beta$ respectivamente, por razones que serán evidentes en poco tiempo.

Existencia. Me parece visualización de funciones como las relaciones a ser el más transparente de enfoque aquí. He aquí una breve revisión de las definiciones. Una función de $f : A \to B$ es esencialmente una relación $F \subseteq A \times B$ de manera tal que cualquier $x$ en el codominio $A$ aparece como el primer elemento en exactamente un par ordenado $(x,y)$$F$. En lo que sigue, podemos representar una función por una pequeña carta de casos, y la correspondiente relación por el correspondiente capital de los casos. En este punto de vista, la notación $y = f(x)$ es sólo otra manera de decir $(x,y) \in F$.

Para cualquier relación $F$, podemos definir la relación inversa $F^{-1} \subseteq B \times A$ como transposición de la relación de $F^{T} \subseteq B \times A$ como: $$ F^{T} := \{ (y,x) \,:\, (x,y) \in F \}. $$ (Edit: Por Qiaochu del Yuan sugerencia, he cambiado el término "relación inversa" a "transpose relación".) La cosa buena acerca de las relaciones es que tenemos alguna noción de la inversa de forma gratuita. Por supuesto, la transposición de relación no es necesariamente una función siempre. Sin embargo, este es el caso en las condiciones planteadas en la pregunta.

Suponga que $f$ es un bijection. Definimos la transposición de la relación de $G = F^{T}$ anterior. Queda por comprobar que esta relación se $G$ realmente define una función con las propiedades deseadas.

• $G$ define una función: Para cualquier $y \in B$, hay al menos un $x \in A$ tal que $(x,y) \in F$. (Por qué?) Por otra parte, una $x$ es único. (Por qué?) Es decir, para cada una de las $y \in F$, existe exactamente una $x \in A$ tal que $(y,x) \in G$. Por lo tanto, $G$ representa una función, llamada esta $g$.

• $g$ es surjective: Tome $x \in A$ y definen $y = f(x)$. Compruebe que esta $y$ satisface $(y,x) \in G$, lo que implica la reclamación.

• $g$ es inyectiva: Supongamos $y_1, y_2 \in B$ son tales que $g(y_1) = x$$g(y_2) = x$. Desenrollar la definición, obtenemos $(x,y_1) \in F$$(x,y_2) \in F$. Ahora, desde la $F$ representa la función, debemos tener $y_1 = y_2$.

• $g$ es bijective. Sigue a partir de inyectividad y surjectivity.

• De la izquierda a la inversa: ahora Nos muestran que el $gf$ es la función identidad $1_A: A \to A$. Fix $x \in A$, y definir $y \in B$$y = f(x)$. Por definición de $F$, $(x,y) \in F$. De nuevo, por definición de $G$,$(y,x) \in G$. Por lo tanto, $x = g(y)$. Conectar $y = f(x)$ en la última ecuación, obtenemos $x = g(f(x))$, que es lo que queríamos demostrar.

• Derecho a la inversa: Aquí queremos mostrar que $fg$ es la función identidad $1_B : B \to B$. Esto es muy similar a la de la parte anterior; se puede completar esta prueba?

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La singularidad. El duro de la prueba que se realiza. Pero todavía queremos mostrar que $g$ es la única a la izquierda y a la derecha de la inversa de $f$.

• De la izquierda a la inversa: Supongamos $h : B \to A$ algo inversa de a $f$; es decir, $hf$ es la función identidad $1_A : A \to A$. Esto es similar a Thomas de la respuesta. Inicio a partir de: $$ 1_A = hf. $$ El truco es hacer una correcta composición con $g$: $$ g = 1_A g = (hf)g = h(fg) = h1_B = h, $$ lo que muestra que $h$ es lo mismo que $g$.

• Derecho a la inversa: de nuevo, Esto es muy similar a la anterior parte. Estoy seguro de que usted puede completar esta prueba.

Answer 2

De hecho, tenemos las siguientes:

Teorema. Deje $f\colon A\to B$ ser una función. Los siguientes son equivalentes:

1. $f$ es uno-a-uno.
2. $f$ - cancelación: si $C$ es cualquier conjunto, y $g,h\colon C\to A$ son funciones tales que $f\circ g = f\circ h$,$g=h$.

La siguiente condición implica que $f$ es de uno a uno:

• $f$ ha dejado inversa, $h\colon B\to A$ tal que $h\circ f=\mathrm{id}_A$.

Si, por otra parte, $A\neq\emptyset$, $f$ es uno a uno si y sólo si $f$ tiene una izquierda inversa.

Doblemente:

Teorema. Deje $f\colon A\to B$ ser una función. Los siguientes son equivalentes:

1. $f$ es a $B$.
2. $f$ es derecho-cancelables: si $C$ es cualquier conjunto, y $g,h\colon B\to C$ son tales que $g\circ f = h\circ f$,$g=h$.

La siguiente condición implica que $f$ si en:

• $f$ tiene un derecho inversa, $g\colon B\to A$ tal que $f\circ g = \mathrm{id}_B$.

Además, el Axioma de Elección es equivalente a "si $f$ es surjective, a continuación, $f$ tiene derecho a la inversa."

La proposición. Deje $f\colon A\to B$ ser una función Si $g$ es una izquierda inversa de a $f$ $h$ es un derecho inversa de a$f$,$g=h$. En particular, una función es bijective si y sólo si tiene dos lados inversa.

Prueba. $g = g\circ\mathrm{id}_B = g\circ(f\circ h) = (g\circ f)\circ h = \mathrm{id}_A\circ h = h.$ $\Box$

Esta es la misma prueba se utiliza para demostrar que la izquierda y la derecha recíproca de un elemento en un grupo debe ser igual, que una a la izquierda y a la derecha del inverso multiplicativo en un anillo debe ser igual, etc.

La última propuesta se mantiene incluso sin asumir el Axioma de Elección: la pequeña pieza que falta sería mostrar que un bijective función siempre tiene derecho a la inversa, pero esto es fácil de hacer, incluso sin AC.

Answer 3

Me estoy perdiendo algo? Usted puede precomponer o postcompose con $\alpha^{-1}$. Por lo tanto $\alpha^{-1}\circ (\alpha\circ\beta)=\beta$, e $(\beta\circ\alpha)\circ\alpha^{-1}=\beta$.