Encontrar $\int_{0}^{\infty} \frac{\ln(x)}{1+x^2}dx$

Question

Encontrar $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}dx$.

¿Cómo debo cambiar los límites de integración para evaluar esto?

Answer 1

Sugerencia: considerar en Primer lugar $$\int_0^1\frac{\ln x}{1+x^2}dx\quad (*)$$ Es fácil mostrar que la integral de la $(*)$ es finito. A continuación, utilice la sustitución de $x=\frac{1}{t}$ y simplificar, se puede obtener $$\int_0^1\frac{\ln x}{1+x^2}dx=-\int_1^\infty\frac{\ln t}{1+t^2}dt$$ Por lo tanto $$\int_0^\infty\frac{\ln x}{1+x^2}dx=0$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Set $x=\tan y$ conseguir $$I+\int_0^\infty\dfrac{\ln x}{1+x^2}dx=\int_0^{\pi/2}\ln(\tan y)dy$$

Ahora el uso de $\int_a^bf(x)\ dx=\int_a^bf(a+b-x)\ dx$

$$I=\int_0^{\pi/2}\ln\{\tan(\pi/2-y)\}dy=\int_0^{\pi/2}\ln\cot y\ dy=-\int_0^{\pi/2}\ln(\tan y)dy=-I$$