Las clases D de un semigrupo inverso son "cuadradas".

Question

Demuestre que el $\mathcal{D}$ -clases en un semigrupo inverso son "cuadradas". Más precisamente, demuestre que existe una biyección desde el conjunto de $\mathcal{L}$ -clases en un $\mathcal{D}$ -clase $D$ en el conjunto de $\mathcal{R}$ -clases en $D$ , definido por la regla de que $L_{a}$ mapas a $R_{a^{-1}}$ .

Esta es una pregunta del libro de Howies sobre la teoría de semigrupos, desafortunadamente no hay solución a esa pregunta y no tengo idea de cómo hacerla. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Se puede utilizar la siguiente caracterización de los semigrupos inversos:

Teorema . Un semigrupo $S$ es un semigrupo inverso si y sólo si cada $\mathcal{R}$ -clase de $S$ contiene exactamente un idempotente y cada $\mathcal{L}$ -clase de $S$ contiene exactamente un idempotente .

Ahora, dejemos que $D$ ser un $\mathcal{D}$ -clase de $S$ y que $E(D)$ sea el conjunto de elementos idempotentes de $D$ . Si $a \in D$ entonces $aa^{-1}$ es el único idempotente de $R_a$ y el único idempotente de $L_{a^{-1}}$ . En particular, si $a \mathop{\mathcal{R}} b$ entonces $aa^{-1} = bb^{-1}$ y por lo tanto el mapa $R_a \to aa^{-1}$ induce una biyección bien definida desde el conjunto de $\mathcal{R}$ -clases de $D$ a $E(D)$ . Del mismo modo, el mapa $L_a^{-1} \to aa^{-1}$ induce una biyección bien definida desde el conjunto de $\mathcal{L}$ -clases de $D$ a $E(D)$ . De ello se deduce que el mapa $R_a \to L_a^{-1}$ induce una biyección desde el conjunto de $\mathcal{R}$ -clases de $D$ a su conjunto de $\mathcal{L}$ -clases.