¿Puede un sistema subdeterminado tener una solución única?

Question

En mi caso, llamo sistema infradeterminado a un sistema de ecuaciones lineales donde hay menos ecuaciones que variables (incógnitas). Mi libro de texto dice que la respuesta es falsa, sin embargo Internet dice lo contrario.

Por fuera, tiene sentido que un sistema indeterminado no pueda tener una solución única, pero me estoy inclinando por confiar en Internet en este caso. ¿Puede alguien explicar cómo existe una solución única? Una prueba también podría ser útil, aunque espero que no sea demasiado compleja.

Answer 1

Un sistema subdeterminado es aquel que tiene menos ecuaciones que incógnitas, por lo que podemos escribirlo como una ecuación matricial $Ax = b$ con $A$ una matriz que tiene menos filas que columnas. Esto implica que las soluciones, si existen , lo hará no ser único. Dos maneras de ver esto:

Método 1. Si se resuelve la ecuación $Ax = b$ mediante la reducción de la fila $A$ en forma escalonada, encontrará que no todas las columnas de la forma escalonada pueden tener un pivote. Por lo tanto, cuando escribas la solución general, habrá variables libres, lo que lleva a un número infinito de soluciones.

Método 2. Dado que $A$ tiene menos filas que columnas, entonces $A$ es un $m \times n$ matriz con $m < n$ . Entonces $\mathrm{rank}(A) \le m$ y como $\mathrm{rank}(A) + \mathrm{nullity}(A) = n$ entonces $\mathrm{nullity}(A) = n - \mathrm{rank}(A) \ge n - m > 0$ . Por lo tanto, el espacio nulo de $A$ tiene una dimensión mayor que $0$ Así que si $x_p$ es una solución particular de la ecuación, entonces cualquier vector de la forma $x_p + h$ es también una solución para cualquier $h \in \mathrm{Nul}(A)$ y hay infinitas opciones para $h$ .

Answer 2

Al resolver $Ax=b$ con más incógnitas que ecuaciones, $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ con $m<n$ .

También $\operatorname{rank} A\leq m<n$ . Dado que el sistema lineal tiene una solución única cuando $\operatorname{rank} A=n$ Esto no puede ocurrir nunca.

Como ha comentado @Lazar, si hay condiciones adicionales, se puede obtener una solución única. Sin embargo, las ecuaciones lineales no proporcionan la unicidad; las condiciones adicionales sí.