¿El conjunto vacío es contable?

Question

Tengo problemas para tratar de entender el verdadero significado de los juegos contables. ¿Puede un conjunto vacío ser considerado como un conjunto contable, ya que no hay ningún elemento cómo podemos contar? Pero hay un libro que estoy usando, que sólo declara que un conjunto vacío es contable sin verificación. ¿Hay alguien que pueda ayudarme con esto?

Answer 1

El conjunto vacío es un subconjunto de $\mathbb{N},$ por lo tanto un conjunto contable.

Como motivación, la intersección de dos conjuntos contables es un conjunto contable, y la intersección de dos conjuntos contables disjuntos es el conjunto vacío.

Answer 2

En las matemáticas, al igual que en todos los demás campos técnicos, desde la física hasta la reparación de hornos, existe una jerga técnica en la que los términos ordinarios, como "contable", se utilizan de formas técnicas particulares que sólo se parecen en cierta medida a las formas en que se utilizan esas mismas palabras en el habla ordinaria. Es útil pensar en el significado ordinario de estas palabras, como ayuda para entenderlas, pero ese significado ordinario sólo nos lleva hasta cierto punto, y no tan lejos como necesitamos llegar.

Para entender "contable", puedes pensar en el conteo ordinario, pero eso no te llevará a entender el matemáticas significado de "contable", porque el significado matemático no es el mismo que el ordinario. En matemáticas, "contable" tiene un significado técnico particular que no se puede adivinar a partir de la comprensión ordinaria de esta palabra. Para entender el significado matemático, hay que buscar la definición matemática.

El significado matemático de "contable" es:

Un conjunto $S$ es contable si existe un subconjunto de los números naturales, digamos $T$ y una correspondencia uno a uno $f$ entre $S$ y $T$ .

Para entender esta definición, hay que ver cómo se corresponde con la noción ordinaria de "contable", y también cómo no. Por ejemplo, la definición implica que el conjunto de los números pares es "contable" en este sentido técnico, mientras que el significado ordinario de "contable" probablemente no se aplica al conjunto de todos los números pares, que no tiene principio ni fin. Del mismo modo, la definición implica que el conjunto vacío es "contable" en este sentido técnico, aunque usted ha observado que llamar al conjunto vacío "contable" en el sentido ordinario es extraño. Pero esto sólo demuestra que los dos sentidos son diferentes, y no se puede utilizar el sentido ordinario como sustituto del sentido técnico.

Answer 3

SUGERENCIA:

$\emptyset$ es contable si y sólo si existe un $f: \emptyset \to \mathbb{N}$

Dejemos que $f=\emptyset\times\mathbb{N}$ . Sí, ¡realmente funciona!

En primer lugar, demostrar $f$ es una función que asigna $\emptyset \to \mathbb{N}$ . Entonces demuestre $f$ es inyectiva. En la mayoría de los casos, las cosas serán vacuamente verdaderas.

Answer 4

Se dice que un conjunto es contable si es finito o infinito contable .

¡El conjunto vacío es finito! (es claramente intuitivo)

La definición de conjunto finito dice que un conjunto es finito si existe una correspondencia biyectiva del conjunto con alguna sección de los enteros positivos. Es decir, el conjunto $A$ es finito si está vacío o si existe una biyección $f:A \to \lbrace 1,2,3,\dots ,n\rbrace$ para algún número entero positivo $n$ .

Answer 5

Aunque muchas de las respuestas anteriores son tan técnicamente ciertas. Creo que la mejor manera de pensar en el conjunto nulo como un conjunto contable es recordar que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto bien definido. Como el conjunto vacío es un subconjunto de los Números Naturales y los números naturales son contables, el conjunto vacío es contable.