Bajo qué circunstancias podemos tomar este inversa de la matriz?

Question

Supongamos que tenemos una matriz:

$$(A^TB^{-1})^{-1}.$$

Bajo qué circunstancias se puede simplificar a:

$$C^TBC?$$

Y ¿qué sería de $C$?

EDIT: tenga en cuenta que NO estoy asumiendo que $A$ es una matriz cuadrada. Sólo que $B$ es un cuadrado y invertible. En efecto, supongamos $A$$n\times m$$n\neq m$, e $rank(A)=\min(n,m)$. Lo siento por no afirmar esto de manera más explícita anterior.

Answer 1

Cuando usted habla de la inversa de un producto, se puede ver $(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$. En tu caso, tienes $C = (A^T)^{-1}$.

Answer 2

Si debemos tener $A^TB^{-1}A$ invertible, entonces $$|A^TB^{-1}A|\ne 0$$ also $B$ is invertible so $|B^{-1}|=\dfrac{1}{|B|}\ne 0$ and we have: $$|A^TB^{-1}A|=|A^T||B^{-1}||A|=|B^{-1}||A|^2\ne 0\to|A|^2\ne 0\to |A|\ne 0$$ therefore $Un$ is invertible as well. Now check that the following equalities are true: $$(A^TB^{-1}A)(A^{-1}B(A^T)^{-1})=A^TB^{-1}AA^{-1}B(A^T)^{-1}=A^TB^{-1}B(A^T)^{-1}=A^T(A^T)^{-1}=I$$ also $$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^{T}$$ then by defining $C=(A^{-1})^T$ we have: $$(A^TB^{-1}A)^{-1}=C^TBC$$

Answer 3

Si usted multiplicar dos matrices $A,B$ $AB$ es invertible, entonces ambos $A,B$ debe ser invertible. Así que si $A^TB^{-1}A$ es invertible, entonces también lo son todos los términos que aparecen en el. Por lo tanto estamos usando ese $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^{T}$ tenemos que:

$(A^TB^{-1}A)^{-1}=A^{-1}B(A^{-1})^{T}$

Por lo $C=(A^{-1})^T$