Aunque la pregunta exige olvidarse de posets, lo voy a resumir el enfoque general de Möbius inversión aquí, ya que no es menos elemental de un "directo", no se basa en la penetración profunda, y de hecho es bastante indoloro.
Supongamos $(P,\preceq))$ son un conjunto $P$ y un orden parcial $\preceq$ $P$ (por ejemplo,$P=\mathbb N_{\geq1}$, e $x\preceq y$$x\mid y$), y supongamos que para cada una de las $y\in P$ hay sólo un número finito $x\in P$$x\preceq y$, por lo que nuestro sumatorias por debajo de sentido. Queremos una función $\mu(x,y)$ $P^2$ con la propiedad
$$
\sum_{y\preceq z}\mu(x,y)=\delta_{x,z}.
$$
para todos los $x,z\in P$. Esta ecuación define a $\mu(x,z)$ una vez que todos los otros $\mu(x,y)$ que se producen son conocidos, por lo que los valores de $\mu(x,y)$ está definida únicamente por esta ecuación, como puede ser fija $x$ por la fuerte inducción en $y$ a lo largo de los pedidos parciales $\preceq$ (o a lo largo de cualquier orden total de la ampliación, si se prefiere). Esta muestra en particular que $\mu(x,y)=0$ siempre $x\not\preceq y$, e $\mu(x,x)=1$ todos los $x$.
En nuestro ejemplo vamos a obtener $\mu(x,y)=\mu(y/x)$ $\mu$ ahora denotando la clásica (la aritmética) función de Möbius. De hecho, para $x=1$ la ecuación se convierte en la habitual $\sum_{y\mid z}\mu(1,y)=\delta_{1,z}$, y para $x>1$ uno puede comprobar fácilmente que $\mu(x,y)=\mu(1,y/x)$ para todos los múltiplos $y$$x$. Es algo desquiciando que la configuración general requiere de una función de dos argumentos, en lugar de una, pero la configuración no proporciona ningún medio para expresar algo como el cociente de la operación utilizado para reducir a un único argumento; sin embargo, en situaciones concretas, a menudo hay una similar función simple de $x$ $y$ en términos de que $\mu(x,y)$ está definido. Observe que la ecuación está pidiendo $\mu(x,y)$ a los coeficientes de la matriz inversa de la matriz $M$, con filas y columnas indexadas por los elementos de a $P$, dado por $M_{x,y}=1$ si $x\preceq y$ $M_{x,y}=0$ lo contrario. Desde la izquierda inversa es también derecho inversa, en este punto de vista nos permite replantear la ecuación anterior como
$$
\sum_{x\preceq y\preceq z}\mu(y,z)=\delta_{x,z}.
$$
Pero basta de teoría general.
Si $\preceq$ es en realidad un total de pedidos en $P$, lo que significa que (dada la finitud de la condición) que $P$ es isomorfo a un segmento inicial de $\mathbb N$ (possiblement todos los de $\mathbb N$), entonces es fácil ver que uno ha $\mu(x,y)=\epsilon(y-x)$ donde $\epsilon:\mathbb Z\to\{-1,0,1\}$ satisface $\epsilon(i)=(-1)^i$ si $i\in\{0,1\}$ $\epsilon(i)=0$ lo contrario. Esta casi trivial cálculo permiten deducir importantes Möbius funciones, incluyendo la clásica función de Möbius, con el siguiente
Teorema. Si $(P_i,\preceq_i)$ son apropiados posets para $i\in I$, e $(P,\preceq)$ es el producto poset (restringido si $I$ es infinito), entonces la función de Möbius para $P$ es el producto de Möbius funciones para el posets $P_i$: uno ha $\mu((x_i)_{i\in I},(y_i)_{i\in I})=\prod_{i\in I}\mu_i(x_i,y_i)$.
Aquí un producto poset es el producto Cartesiano $\prod_{i\in I}P_i$ con un componente sabio orden parcial: $(x_i)_{i\in I}\leq(y_i)_{i\in I}$ si y sólo si $x_i\leq y_i$ $P_i$ todos los $i\in I$. También "restringido" significa restricción para el subconjunto del producto Cartesiano de los $(x_i)_{i\in I}$ tal que $x_i$ es el mínimo elemento de $P_i$ para todos, pero finitiely muchos índices $i$; esta restricción es necesaria para asegurarse de que hay sólo un número finito de elementos por debajo de cualquier elemento de $P$, por lo que su Möbius función está bien definida. El ejemplo que nos interesará es con $I$ el conjunto $\mathrm{Pr}$ de los números primos, y cada una de las $(P_i,\preceq_i)$ una copia de $(\mathbb N,\leq)$; entonces los elementos de a $P$ son colecciones $(m_p)_{p\in\mathrm{Pr}}$ $m_p\in\mathbb N$ $m_p=0$ para todos, pero finitiely muchos $p$. Un elemento puede estar asociado al producto $\prod_{p\in\mathrm{Pr}}p^{m_p}$, que es un bijection de $P$ para el conjunto de $\mathbb N_{\geq1}$, en virtud de la cual bijection el orden parcial $\preceq$ $P$ corresponde a la relación de divisibilidad en $\mathbb N_{\geq1}$. Así vemos que el teorema se describen, en particular, la clásica función de Möbius. De hecho, se da $\mu(x,y)=\prod_{p\in\mathrm{Pr}}\epsilon(m_p(y)-m_p(x))$ donde $m_p(x)$ denota la multiplicidad de la prime $p$ en la factorización de $x$; el producto es igual a $\prod_{p\in\mathrm{Pr}}\epsilon(m_p(y/x))$ siempre $x\mid y$, que es la definición habitual de $\mu(y/x)$.
Prueba. Esto es simplemente formal de la verificación de que la propuesta de Möbius función de $P$ satifies la necesaria ecuación. Deje $x=(x_i)_{i\in I}$ $z=(z_i)_{i\in I}$ ser elementos de $P$, y deje $J=\{i_1,\ldots,i_n\}$ ser un conjunto finito que contiene todos los índices para que $z_i$ no es mínima. Entonces
$$
\begin{align}
\sum_{y\preceq z}\mu(x,y)
&=\sum_{y_{i_1}\preceq z_{i_1}}\cdots\sum_{y_{i_n}\preceq z_{i_n}}
\mu_{i_1}(x_{i_1},y_{i_1})\cdots\mu_{i_n}(x_{i_n},y_{i_n}) \\
&
=\prod_{j\in J}\,\sum_{y_j\preceq z_j}\mu_j(x_j,y_j)
=\prod_{j\in J}\delta_{x_j,z_j}
=\delta_{x,z}.\quad\mbox{QED}\\
\end{align}
$$
