Se puede añadir un punto único para cualquier completamente regular (no normal) espacio para llegar a un espacio normal?

Question

Este es un seguimiento a mi pregunta anterior (por desgracia cerrado como un duplicado). No, el problema era a su vez el plano de Moore en un espacio normal mediante la adición de un único punto. Brian M. Scott le dio una respuesta a este problema específico de años.

Esto me puso a pensar acerca de una pregunta más general: ¿se Puede agregar un punto a cualquier completamente regular no el espacio normal $X$ para obtener un espacio normal $Y$ $X$ es un subespacio?

Tenga en cuenta que, para mí, una completamente regular espacios y normal de espacios de Hausdorff. La restricción completamente regular espacios naturales, ya que cada subespacio de un espacio completamente regular en sí es completamente regular y normal de los espacios completamente regulares. Desde $Y$ se supone que para ser normal, el subespacio $X$ debe ser completamente regular.

Sé que si $X$ es localmente compacto, usted puede tomar $Y$ a ser el único punto de compactification. Sin embargo, si $X$ no es localmente compacto el punto de compactification no es Hausdorff.

Answer 1

En general no es posible añadir un punto a un espacio de Tychonoff para conseguir un espacio normal. Deje $X= {\mathbb N}^\kappa$ donde $\kappa$ es incontable y donde la topología es el producto de la topología, es decir, una base se compone de productos de $\prod U_\lambda$ donde un número finito de conjuntos de $U_\lambda$ son solo puntos y todos los demás son todos los de $\mathbb N$. Se sabe que $X$ no es normal. Cada conjunto abierto es cerrado en $X$ y homeomórficos a $X$ (y por lo tanto no es normal). Ahora vamos a $Y = X \cup \{p\}$ ser un espacio de Hausdorff, donde $X$ tiene la topología de subespacio. Para mostrar que $Y$ no es normal, es suficiente para encontrar un subconjunto cerrado $K$ lo cual no es normal. Elija cualquier $x \in X$ y deje $U$ e $V$ ser distintos barrios de $x$ e $p$, respectivamente. Deje $K = Y \setminus V$. A continuación, $U,$ y, por lo tanto, $K$, contiene un básico de conjunto abierto, que es cerrado y no-normal. Por lo tanto, $K$ no es normal.