Deje $A$ conjunto finito número de subconjuntos de a $\Omega$. ¿Cuántos miembros hay en el sigma álgebra generada por $A$ ?
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Oli
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Depende. Por ejemplo, supongamos $A_1$ $A_2$ se establece, ninguno de los cuales es el conjunto vacío o $\Omega$. Supongamos que $A_1$ es una adecuada subconjunto de $A_2$. A continuación, el $\sigma$-álgebra generada por $A_1$ $A_2$ $8$ conjuntos. Por las decisiones adecuadas, podemos lograr la $4$, e incluso el $2$. También hay opciones de $A_1$ $A_2$ que le dan un $\sigma$-álgebra de tamaño $16$, que es el máximo posible si $n=2$.
En general, vamos a $A_1, A_2,\dots,A_n$ ser nuestros conjuntos. Considere la posibilidad de la colección de $\mathbb{K}$ de todos los no-vacía de conjuntos de la forma $$A_1^{e_1}\cap A_2^{e_2}\cap \cdots\cap A_n^{e_n},\tag{$1$}$$ donde para cada $i$, $e_i$ es el vacío de la palabra o la palabra que consiste en el complemento símbolo. Lo que estamos diciendo "sí" o "no" a la $A_i$ en todas las formas posibles.
Si $\mathbb{K}$ $k$ elementos, entonces el $\sigma$-álgebra generada por la $A_i$ $2^k$ elementos. Para los elementos de la $\sigma$-álgebra es la unión de cualquier colección de elementos de $\mathbb{K}$. En un sentido, los elementos de $\mathbb{K}$ son los átomos de la $\sigma$-álgebra.
Para un $\sigma$-álgebra de máxima cardinalidad, se supone que el $2^{n}$ expresiones en $(1)$ todos dan no vacía de conjuntos. A continuación, nuestra $\sigma$-álgebra ha $2^{(2^n)}$ elementos.
