¿Por qué es el conjunto de $n\times n$ real, no-singular matrices de abrir un subconjunto del conjunto de todos los $n\times n$ real de las matrices? No acabo de entender lo de "abierto" significa en este contexto.
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
"Abrir" en el sentido de la topología. Un conjunto puede ser dotado con un extra de estructura, se llama una topología, que es una decisión acerca de cuál de los subconjuntos de nuestro juego será llamada "open" (la decisión no puede ser arbitraria sin embargo, hay algunas reglas). Los números reales, $\mathbb{R}$, se puede dar una topología, llamada la "topología usual", donde llamamos a $S\subseteq \mathbb{R}$ "abierta" cuando, por cualquier $x\in S$, existe un intervalo abierto $(a,b)$ tal que $x\in (a,b)$$(a,b)\subseteq S$.
El conjunto $M_n(\mathbb{R})$ de todos los $n\times n$ real de las matrices pueden ser identificados con $\mathbb{R}^{n^2}$, a través de $$\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots& \ddots & \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{nn}\end{pmatrix}\mapsto(a_{11},a_{12},\ldots,a_{1n},a_{21},\ldots,a_{nn})$$ y debido a que $\mathbb{R}$ su usual topología, podemos poner el producto topología en $\mathbb{R}^{n^2}$, y de ahí en $M_n(\mathbb{R})$.
El determinante de la función de $\det:M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ envía un $n\times n$ matriz para su determinante. Es continua, porque es, de hecho, un polinomio en las entradas de la matriz (es decir, en virtud de nuestra identificación, es un polinomio de la función en $n^2$ variables de$\mathbb{R}^{n^2}$$\mathbb{R}$). Una de las propiedades de funciones continuas (de hecho esto es lo que la definición de una función continua es en general) es que la preimagen de un conjunto abierto es abierto. A continuación, debido a que una matriz es no singular si y sólo si su determinante es no $0$, tenemos que $$\text{GL}_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})\mid A\text{ is non-singular}\}={\det}^{-1}(\mathbb{R}-\{0\})$$ y $\mathbb{R}-\{0\}$ es un conjunto abierto de $\mathbb{R}$, por lo tanto $\text{GL}_n(\mathbb{R})$ es un subconjunto abierto de $M_n(\mathbb{R})$.
La notación $\text{GL}$ proviene del hecho de que esto es a menudo llamado el grupo lineal general.
También es interesante contrastar este resultado con otro resultado, que me mostraron en una respuesta diferente, que el conjunto de $m\times n$ matrices que tengan rango inferior o igual a $k$, para algunas de las $k\leq\min\{m,n\}$, es un cerrado subconjunto de $M_{m\times n}(\mathbb{R})$. Tenga en cuenta que un cuadrado de $n\times n$ matriz es no singular si y sólo si a tiene rango completo, es decir, su rango es igual a $n$.
Justin Walgran
Puntos
552
Algo de manera informal: si usted toma una matriz, y cambiar las entradas de un poco, entonces el determinante también cambia un poco. (Formalmente, el determinante es una función continua de la matriz de entradas.)
Así que si usted comienza con una matriz con los no-cero determinante, y cambiar sus entradas un poco, el resultado también tendrá distinto de cero determinante. Así matrices que están "cerca" de un no-singular de la matriz son en sí mismos no singular; que es lo que significa para que el conjunto de no-singular matrices es un conjunto abierto.
En contraste, el conjunto de singular matrices no está abierto. Ya que es el complemento de un conjunto abierto, se llama cerrado establece: artículo de la Wikipedia en conjuntos cerrados. No es abierta, porque si usted toma un no-singular de la matriz y cambiarlo un poco, (por lo general) no ser no singular; es cerrado porque si se toma el límite de una secuencia singular de matrices (en el "obvio" de las componentes camino) y que el límite existe, es una singular de la matriz.
(Todo esto se hace más formal en Zev Chonoles respuesta.)
Paul
Puntos
16
