dependencia lineal y vectores coplanares

Question

Estoy confundido acerca de la coplanaridad de los vectores, y la relación de la coplanaridad con la dependencia lineal.

Si tengo vectores reales $ \mathbf {u}$ , $ \mathbf {v}$ y $ \mathbf {w}$ con $ \mathbf {w}$ una combinación lineal de $ \mathbf {u}$ y $ \mathbf {v}$ los tres son entonces linealmente dependientes. (Esto está claro.)

Sin embargo, no tengo claro lo siguiente:

• ¿Qué significa "coplanario"? (No, en serio; cuando pienso en tres puntos - vectores - los imagino como determinantes de un plano a priori No creo que dos vectores determinen un plano. Me imagino que mi definición de coplanario está un poco fuera de lugar aquí.)

• ¿Cómo se relaciona la dependencia/independencia lineal con la coplanaridad (como quiera que se defina realmente)?

Googlear (tengo el libro de Strang, que no introduce la noción de independencia lineal) me llevó a creer que coplanaridad $ \iff $ dependencia lineal (para tres vectores), pero no entiendo esto.

(También: si estás tan inclinado, una buena referencia de álgebra lineal sería apreciada....)

Answer 1

Tu problema para entender la coplanaridad es distinguir los "puntos" de los "vectores", y distinguir los subespacios lineales bidimensionales de los planos en general. Cada tres puntos determinan un plano, como dices, pero en general este plano no pasa por el origen. En el álgebra lineal distinguimos los planos que pasan por el origen, ya que son subespacios de $\mathbb{R}^3$ . Entonces tenemos una definición diferente del plano determinada sólo por dos vectores, que es su tramo lineal $\{au+bv: a, b \in \mathbb{R}\}$ . Esto incluye necesariamente el origen. También se puede pensar en el tramo de $u$ y $v$ en términos de puntos, como el plano determinado por $u, v$ y el origen.

Como ha dicho, si $w$ se encuentra en el tramo de $u$ y $v$ es decir, es una combinación lineal de ellas, entonces $u,v,w$ son linealmente dependientes. Lo que esto significa es precisamente que $u,v,w$ son coplanares, en el sentido de que $w$ está en el plano determinado por $u,v,$ y el origen.

Answer 2

En primer lugar debes saber que dos vectores(Fuerzas) son siempre coplanarios. Ahora bien, cuando se trata de la coplanaridad de tres vectores entran en escena la independencia y la dependencia lineales. Puesto que dos vectores son siempre colplanares, el tercero será coplanar o no dependerá de la relación lineal que el tercer vector tenga con los dos primeros. POR EJEMPLO: Consideremos dos vectores "a" y "b" y un tercer vector "r".

1. Caso 1: Si el tercer vector es linealmente dependiente de los otros dos, es decir, r= ax+by (donde x e y son escalares y pertenecen a números reales), entonces r es coplanario con los dos primeros.

2. Caso 2: Si el tercer vector es independiente de los dos primeros, es decir, r!=ax+by (donde x e y son escalares y pertenecen a números reales. ! =" se lee como no igual a), entonces eso sugiere que el tercer vector no está en el plano de los dos primeros y por tanto el sistema formado por los tres vectores no es coplanario.