Completar un anillo

Question

Considere el anillo $$R= \mathbb{Z}_p[x,y]/((x^2-2+y^2)(x^2-y^2)+p^ry),$$ where $p$ is an odd prime and $r$ is an integer greater than $1$. I want to show that the completion of $R$ at $(p, x, y)$ is isomorphic to the completion of a ring of the form $$\mathbb{Z}_p[x,y]/(xy-v)$$ at the origin, where $v \ in (p) \ cap \ mathbb {Z} _p$. Parece que no soy capaz de resolver esto.

Answer 1

La conclusión es igual a $\mathbb Z_p[[x,y]]/((2-x^2 -y^2)(x^2 - y^2)-p^ry)$. Ahora el elemento $2 -x^2 -y^2$ es invertible en a $\mathbb Z_p[[x,y]]$, ya que cuenta con una invertible términos constantes, y por lo que podemos reescribir esto como $$\mathbb Z_p[[x,y]]/(x^2 - y^2 - u),$$ where $u = (2 - x^2 - y^2)^{-1}p^r y.$

Ahora bien, si escribimos $s = x-y, t = x+y,$ $\mathbb Z_p[[x,y]] = \mathbb Z_p[[s,t]]$ (de nuevo, con ese $p$ es extraño inerte de la relación entre el$(s,t)$$(x,y)$), y por lo tanto podemos reescribir la realización como $$\mathbb Z_p[[s,t]](st - v), , que es la forma requerida.

Agregado: Como YACP alude a ello en un comentario, el elemento $v$ es un múltiplo de a $p$, pero no está en la $\mathbb Z_p$. Sin embargo, creo que no es posible lograr esta última condición (aunque no tengo tiempo ahora para comprobar cuidadosamente).