Existencia de suficientes números enteros que pueden ser representados correctamente por una forma cuadrática binaria primitiva

Question

Dejemos que $F = ax^2 + bxy + cy^2$ sea una forma cuadrática binaria sobre $\mathbb{Z}$ . Nosotros decimos $D = b^2 - 4ac$ es el discriminante de $F$ . Es fácil ver que $D \equiv 0$ (mod $4$ ) o $D \equiv 1$ (mod $4$ ). Si $D$ no es un entero cuadrado y gcd( $a, b, c) = 1$ decimos que $F$ es primitivo.

Dejemos que $m$ sea un número entero. Si $m = ax^2 + bxy + cy^2$ tiene una solución en $\mathbb{Z}^2$ decimos que $m$ está representado por $F$ . Si $m = ax^2 + bxy + cy^2$ tiene una solución $(s, t)$ tal que gcd $(s, t) = 1$ , decimos $m$ está correctamente representado por $F$ .

Mi pregunta ¿Es verdadera la siguiente proposición? En caso afirmativo, ¿cómo se demuestra?

Propuesta Dejemos que $D$ sea un número entero no cuadrado tal que $D \equiv 0$ (mod $4$ ) o $D \equiv 1$ (mod $4$ ). Sea $F = ax^2 + bxy + cy^2$ sea una forma cuadrática binaria primitiva de discriminante $D$ . Dejemos que $m \neq 0$ sea un número entero. Existe un número entero $n$ que está correctamente representado por $F$ y gcd( $n, m) = 1$ .

Answer 1

La respuesta a su pregunta es SÍ.

Poner $Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ . Dejemos que $p_1,p_2, \ldots ,p_r$ sean los divisores primos de $m$ . Tenga en cuenta que

$$ Q(1,0)=a,\ Q(0,1)=c, \ Q(1,1)=a+b+c $$

Si $Q$ es primitivo, esos tres números no son todos divisibles por $p_i$ . Así que para cada $i$ hay dos enteros $x_i$ y $y_i$ tal que $Q(x_i,y_i) \not\equiv 0 \ ({\sf mod} \ p_i)$ (y de hecho, podemos tomar $(x_i,y_i)$ para ser uno de los tres $(0,1),(1,0),(1,1)$ ).

Por el teorema chino del resto, hay un número entero $x$ tal que $x\equiv x_i \ ({\sf mod} \ p_i)$ para todos $i$ y un número entero $y$ tal que $y\equiv y_i \ ({\sf mod} \ p_i)$ para todos $i$ . Entonces

$$ \forall i,\ Q(x,y) \equiv Q(x_i,y_i) \not\equiv 0 \ ({\sf mod} \ p_i) $$

Así que $n=Q(x,y)$ no es divisible por ninguno de los $p_i$ y, por tanto, es coprima de $m$ .

Por último, para asegurarse de que la representación es correcta, sustituya $(x,y)$ con $(x’,y’)=(\frac{x}{g},\frac{y}{g})$ donde $g=gcd(x,y)$ . Entonces $Q(x',y')=\frac{Q(x,y)}{g^2}$ sigue siendo coprima de $m$ .