Una prueba completa de que un triángulo (o polígono arbitrario) es una célula

Question

Una célula es cualquier subconjunto del plano homeomorfo a un disco.

¿Podría alguien proporcionar una prueba completa de que un triángulo es homeomorfo a un disco? Tengo dos ideas pero no consigo que sean totalmente rigurosas.

Una sería mediante esta asignación explícita $f$ : Traza el límite del triángulo con el límite del disco, y como ambos son curvas de Jordan, hasta aquí estamos bien. Ahora, mapea el centroide $C$ (? Creo que el centroide está siempre dentro del triángulo, a diferencia del ortocentro o circuncentro) del triángulo al centro del disco y luego mapear radios a radios. En concreto, para cada punto $P$ en el límite del triángulo, traza la línea $PC$ a la línea $f(C)f(P)$ .

La otra forma sería mostrar algo así como que todos los subconjuntos cerrados conexos del plano con característica de Euler 2 son homeomorfos.

Siéntete libre de utilizar cualquier definición de homeomorfismo o continuidad que desees.

Answer 1

El teorema del mapa de Riemann establece que cualquier subconjunto abierto no vacío y simplemente conectado del plano complejo, que no sea el plano entero, es biholomorfo a un disco.

Así que el triángulo y el disco son biholomorfos, lo que implica homeomorfos.

Para un enfoque más elemental que no utiliza la RMT que es esencialmente lo que propuso anteriormente, elija un punto fijo en el interior de su triángulo y que sea el origen. Traza cualquier otro punto $P$ en el interior del triángulo a $P/d$ donde $d$ es la longitud del segmento desde el origen hasta el límite del triángulo que pasa por $P$ . Esto da un homeomorfismo sobre el disco unitario.