ANTECEDENTES

Question

La pregunta es del siguiente problema:

Si$f$ es la función cuya gráfica se indica en la figura anterior, entonces el límite superior mínimo (supremo) de$$\big\{\sum_{k=1}^n|f(x_k)-f(x_{k-1})|:0=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=12\big\} parece ser

$A. 2\quad B. 7\quad C. 12\quad D. 16\quad E. 21$

No sé lo que significa el conjunto anterior. Y tengo curiosidad por el trasfondo del conjunto en el análisis real.

Answer 1

Si el supremo es finito, la función se llama de variación acotada.

La función de variación acotada aparece en algún contexto. Un ejemplo simple que me gusta es el siguiente: una función es de variación acotada si y solo si es la suma de una función creciente y decreciente.

Answer 2

Toma una partición de$\{0,12\}$ tal como lo haría cuando calcula una suma riemann, y luego calcula la suma de todos los$f(x_k)-f(x_{k-1})$, y esto será un elemento del conjunto dado.

Edición: lo siento, me equivoqué sobre los términos de cancelación

Answer 3

La variación total resume cuánto una función se mueve hacia arriba y hacia abajo. Lo tuyo hace esto 16 unidades. Por eso elige D.