Cómo demostrar que si $\sum _{n=1}^{\infty }a_n\:$ converge entonces $\sum _{n=1}^{\infty }a_na_{2n}\:$ ¿converge?

Question

Cómo demostrar que si $\sum _{n=1}^{\infty }a_n\:$ converge entonces $\sum _{n=1}^{\infty }a_na_{2n}\:$ ¿converge?

Nota: $a_n \in \mathbb R$

Intenté demostrarlo usando el criterio de Cauchy La idea era utilizar las sumas parciales.

dejar $\epsilon$ >0

Existe $N_1$ tal que para cualquier $n>N_1$ y $p\ge1$

$$\left|\sum \:\:\:\:_{k=n+1}^{n+p}a_k\:\right|<\epsilon \:$$ Existe $N_2$ tal que para cualquier $n>N_2$ y $p\ge1$

$$\left|\sum \:\:\:\:_{k=n+1}^{n+p}a_{2k}\:\right|<\epsilon \:$$ Tomaremos $N=max\left\{N_1,N_2\right\}$ y luego para cualquier $n>N$ y $p\ge1$ :

$$\left|\sum \:\:_{k=n+1}^{n+p}a_ka_{2k}\:\right|\le \left|\sum \:\:\:_{k=n+1}^{n+p}\left(max\left\{a_k,a_{2k}\right\}\right)^2\:\right|\le ...<\epsilon $$

Pero no logré mostrar la parte de los tres puntos. Tal vez no es la manera de probar esto. ¿Pueden ayudarme, por favor?

Answer 1

Podría haber un problema. Deje que $\gamma=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ sea una raíz cúbica no trivial de $1$ . $$a_n= \frac{\gamma^n}{\sqrt{n}}$$ Entonces $\sum_n a_n$ converge pero $$ \sum_{n\geq 1} a_n a_{2n} = \sum_{n\geq 1} \frac{\gamma^{3n}}{\sqrt{2}n}= \sum_n \frac{1}{\sqrt{2}n}=+\infty $$

Para el caso real se establece $b_n={\rm Re\;} a_n$ entonces $\sum_n b_n$ convergen. Sin embargo, $${\rm Re} (\gamma^n) {\rm Re} (\gamma^{2n})= ){\rm Re} (\gamma^n) {\rm Re} (\gamma^{-n}) =({\rm Re} (\gamma^n))^2 \geq 1/4$$ así que $\sum_n b_n b_{2n}\geq \frac{1}{4\sqrt{2}} \sum_n \frac{1}{n}=+\infty$ .

Answer 2

Como señala la respuesta de H.H. Rugh, el resultado no es válido en general. He aquí una prueba para el caso $a_n>0$ :

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $a_na_{2n}\leq \frac{a_n^2+a_{2n}^2}{2}$ para todos $n$ y $0<a_n^2<a_n$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ desde $a_n\to 0$ Por lo tanto $$ \sum_{n=1}^{\infty}a_na_{2n}\leq \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}^2\ll \sum_{n=1}^{\infty}a_n+\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}\ll \sum_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$$

Answer 3

Definir

$$ a_{3k}=0, a_{3k+1}=\frac{1}{\sqrt{3k+1}}, a_{3k+2}=-\frac{1}{\sqrt{3k+2}} $$ entonces $\sum a_{n}$ converge pero no $\sum a_{n}a_{2n}$ .