Encuentra la ecuación de un círculo, dado un punto en él y un punto donde es tangente a una línea dada

Question

La pregunta es:

Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto de $(-3,-4)$ y toca la línea $x-y+7=0$ en el punto de $(-5,2).$

Yo lo que hice fue:

Tomó los puntos dados $(-5,2)$ $(-3,-4)$ como el diámetro del círculo y la derivada de la ecuación usando la fórmula de la ecuación de un círculo cuando los puntos extremos de un diámetro son dados": -

$(x+5)(x+3) + (y+4)(y-2) = x^2+y^2+15x+2y+7 =0 .$

Luego he colocado la ecuación de la línea de derivados por los puntos dados con un parámetro para que yo obtenga la ecuación de cualquier círculo que pasa por los puntos dados $(-5,2)$$(-3,-4) $: -

$$x^2+y^2+15x+2y+7+k(3x+y+13) = 0 \tag1 $$

He sustituido mediados de los puntos de $(-15-3k/2,-2-k/2)$ (1) de la ecuación anterior a la línea perpendicular a la tangente porque mediados de los puntos se encuentran en ese $(x+y+3=0) $ línea. Entonces

$$(-15-3k/2) + (-2-k/2) + 3 = 0 = -15-3k-2-k+6 = 0 = -11 = 4k = k = -11/4$$

Pero cuando me sustituir este valor de " k " para la ecuación (1) tengo la respuesta equivocada. Así que he probado a usar otro método, a saber: la búsqueda de mediados de los puntos de la necesaria círculo usando ecuaciones simultáneas de las líneas de la perpendicular a la tangente y la perpendicular de la línea a través de los puntos (-5,2) y (-3,-4) y. Que trabajó para mí.

¿Qué necesito saber

Si el primer método es inaplicable a la pregunta o lo estoy haciendo mal allí. Gracias de antemano.

Answer 1

Deje los puntos (-5,2) y (-3, -4) como T y P respectivamente.

Suponiendo que T y P son puntos diametralmente opuestos en un círculo, se produce el error.

Al principio necesitas encontrar el centro (h, k) del círculo.

La tangente en T tiene pendiente 1, por lo que la normal tiene una pendiente -1.

PS

La bisectriz perpendicular de TP está dada por

PS

Resolviendo (1 *), (2 *) y tenemos$$ \dfrac{(k-2)}{(h+5)} = -1 \dots (1*) $ $

Desde (1 *), (2 *)$$( k-2)^2 + (h+5)^2 =( k+4)^2 + (h + 3)^2 =( R^2) \dots (2*) $ $

Conecte los valores anteriores en la ecuación de círculo$$ h = -5/2, k =-1/2\dots (3*) $ $

Answer 2

No, no tome los puntos (-5,2) y (-3, -4) como el diámetro del círculo, esto podría ser un acorde.

El centro siempre estaría en la bisectriz perpendicular de dos cuerdas o una cuerda y una tangente.

Es por eso que el primero es incorrecto y el segundo correcto.

Answer 3

Deje que$O(\alpha, \beta)$ sea el centro del círculo,$A=(-3,-4)$ y$B=(-5,2)$. Luego usa la siguiente información para encontrar$\alpha, \beta$.

$1$) La pendiente del radio$OB$ es$-1$.

$2$)$OA=OB$.

Answer 4

el punto medio del acorde que conecta los puntos$(-5, 2)$ y$(-3, -4)$ es$(-4, -1)$ y el acorde tiene una pendiente$\frac{-4-2}{-3 + 5} = -3.$, la ecuación paramétrica de un punto en la bisectriz de este acorde es$$x = -4 + 3t, y= -1 + t$$ the slope of the line connection this point and point of contact $ (- 5, 2)$ is $$\frac{3-t}{-1-3t} $$ must be orthogonal to the tangent so must equal $ - 1.$ that gives $ T = 1/2$ and the center of the circle is $% # PS