Deje $M$ ser un sistema cerrado (compacta, sin límite) topológica del colector. Es posible que exista un subconjunto $A$ $M$ tal que $M$ deformación se retrae en $A$?
Respuesta
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Yo no estoy 100% seguro de mi respuesta. Asumiré $M$ a estar conectado; $n$ destaca por su dimensión. Supongamos $M$ deformación se retrae en una adecuada subet $A$.
Debido a $M$ deformación se retrae en $A$, el largo exacto de la homología de secuencia (LEHS) de la triple $\emptyset\subset A\subset M$ con coeficientes en $G=\Bbb Z$ o $G=\Bbb Z/2\Bbb Z$ (dependiendo de si $M$ es orientable o no) nos dice $$H_*(M,A)\equiv 0.$$
Con la anterior y la LEHS para $A\subset M\setminus\text{pt}\subset M$, hay isomorphisms $$H_{*-1}(M\setminus\text{pt},A)\simeq H_*(M,M\setminus\text{pt})\simeq H_*(\Bbb R^n,\Bbb R^n\setminus 0).$$ The first one is the connecting homomorphism, the second one arises from excision. Therefore $H_*(M\setminus\text{pt},)=0$ for $*=n,n+1$ A continuación, el LEHS del triplete $\emptyset\subset A\subset M\setminus \text{pt}$ grado $n$ nos dicen que
$$H_n(A)\simeq H_n(M\setminus \text{pt})$$
Desde $M$ es cerrado conectado, su parte superior de homología es isomorfo a $G$, y así es que de $A$ desde que se homotopy equivalente: $$H_n(M)\simeq H_n(A)\simeq G.$$ Also, since $M\setminus\text{pt}$ is a non compact connected manifold, its top homology is $0$: $$H_n(M\setminus\text{pt})=0.$$
Esto contradice el isomorfismo $H_n(A)\simeq H_n(M\setminus \text{pt})$. Por lo tanto no hay deformación de retracción de $M$ a un subconjunto.
