Suma con el polinomio de Bernoulli.

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente identidad: $$\sum_{k=0}^n \dfrac {\binom n k B_k(x)} {(n-k+1)} = x^n$$

Yo transformado esta identidad como sigue: $$\dfrac{1}{(n+1)}\sum_{k=0}^n \binom {n+1} k B_k(x) = x^n$$

También traté de hacer lo siguiente: $$\sum_{k=0}^n \dfrac {C_n^k B_k(x)}{(n-k+1)} = n!\sum_{k=0}^n \dfrac {B_k(x)}{k!} \dfrac {1}{(n+1-k)!}$$ Puedo sumar y restar a la (n+1)th sumando: $$n!\sum_{k=0}^{n+1} \dfrac {B_k(x)}{k!} \dfrac {1}{(n+1-k)!}-\dfrac{B_{n+1}(x)}{n+1}$$ Indicar: $$ a_k= \dfrac {B_k(x)}{k!}, b_{n+1-k}=1$$, Por Tanto: $$A(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {B_k(x)}{k!}t^k=\dfrac {te^{xt}}{e^t-1}$$ $$B(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {t^k}{k!}=e^t$$ $$n!A(t)B(t)=n!\dfrac {e^{t(x+1)}t}{e^t-1}$$ Quiero probarlo: $$\sum_{k=0}^n \dfrac {\binom n k B_k(x)} {(n-k+1)} = x^n$$

Así que, creo que la exponencial de generación de función para el lado derecho de la igualdad: $$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {(x^nt)^k}{k!}=e^{x^nt}$$ Así que reformular esta tarea como seguir. Podemos demostrar que: $$n!\dfrac {e^{t(x+1)}t}{e^t-1}=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {B_k(x)}{k}t^k +e^{x^nt}$$ Unfortunately, I can't find $$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {B_k(x)}{k}t^k$$

Espero que me puedan ayudar a demostrar esta identidad. Gracias por su atención!

Answer 1

La última suma presentado no convergen. Aquí es un enfoque más sencillo: $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{B_k(x)}{n-k+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}B_k(x) \int_0^1 u^{n-k} du = \int_0^1 B_n(x+u) du$$ donde en el último paso de un intercambio de $\sum$ e $\int$ ha sido realizado, y la traducción de la identidad' ha sido utilizado (ver la página de la wiki). Cambio de la integral y obtendrás $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{B_k(x)}{n-k+1}= \int_{x}^{x+1}B_n(u) \,du = x^n$$ donde otro ID de la página de la wiki ha sido utilizado (que puede ser tomada como una definición). Si esto es para una tarea de problema, entonces quizás quieras probar las identidades en esta prueba.

ADDENDUM: He aquí una prueba de la 'traducción teorema' mediante la generación de funciones. (Se supone que el lector está familiarizado con la generación de la función de los polinomios de Bernoulli.) $$\quad (T) \quad \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\, u^{n-k} \,B_k(x) = B_n(x+u) $$ Es fácil ver que $$\quad (*) \quad \frac{t\,e^{t\,x}}{e^t-1} e^{t\,u} = \frac{t\,e^{t\,(x+u)}}{e^t-1}.$$ En la parte izquierda (LHS), hacer un producto de Cauchy: $$ LHS(*)=\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!}B_k(x)\cdot \sum_{m=0}^\infty \frac{t^m}{m!}u^m = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\, u^{n-k} \,B_k(x).$$ En el lado derecho, el uso de la generación de la función de nuevo. La fórmula (T) de la siguiente manera por igualando los coeficientes de $t.$

Answer 2

Considere $e^{x t}$ como una expansión de la siguiente manera. \begin{align} e^{x t} &= \frac{e^t -1}{t} \, \frac{t e^{x t}}{e^t -1} \\ &= \frac{1}{t} \, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_{k}(x) \, t^k}{k!} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_{k}(x) \, t^{n+k}}{k! \, (n+1)!} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} t^n \, \sum_{k=0}^{n} \frac{B_{k}(x)}{k! \, (n-k+1)!} \\ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n t^n}{n!} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \, \sum_{k=0}^{n} \frac{n! \, B_{k}(x)}{k! \, (n-k+1)!}. \end {align} Los coeficientes equivalentes llevan a $$(n+1) \, x^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k} \, B_{k}(x)$ $ o $$ x^n = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} \, \frac{B_{k}(x)}{n-k+1}.$ $