Calcula la suma$\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over 1+n^2}$

Question

La pregunta:

Calcular la suma de $$I:=\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over 1+n^2}$$

Mi intento:

• Notación: En una pregunta anterior he calculado $$\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2+1}={1\over 2}\left(\pi{e^\pi+e^{-\pi}\over e^\pi-e^{-\pi}}-1\right)$$ y si es posible, me gustaría usarlo.

Por un lado: $$\sum_{-\infty}^\infty {(-1)^n\over 1+n^2}=1+2I$$ En el otro lado:

$$\sum_{-\infty}^\infty {(-1)^n\más de 1+n^2}=-Res((-1)^z\cdot{\pi \cuna(\pi z)\más de 1+z^2},i)-Res((-1)^z\cdot{\pi\cuna(\pi z)\más de 1+z^2},-i) \\ Res((-1)^z\cdot{\pi \cot(z\pi)\más de 1+z^2},i)={(-1)^i\over 2}\cdot\cuna(\pi i) \\ Res((-1)^z\cdot{\pi \cot(z\pi)\más de 1+z^2}, i)={(-1)^{-i}\over-2i}\cdot\cot(-\pi i) $$ Y en general: $$ \sum_{-\infty}^\infty={\pi\over 2}((-1)^i\cot(-\pi i)-(-1)^i\cuna(\pi i)) $$ Pero no sé cómo mantener a evaluar.

Answer 1

Si usted sabe cómo calcular $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2+a^2}$ (por ejemplo, a través de la distribución de Poisson suma de la fórmula), a continuación, usted sólo puede explotar $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2+1}=-\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2+1}+2\sum_{m\geq 1}\frac{1}{(2m)^2+1}=\frac{1}{2}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}-\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2+(1)^2}.$$ Desde $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(nx)}{n}e^{-ax}\,dx = \frac{1}{n^2+a^2}$ también tenemos $$ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2+a^2} = \int_{0}^{+\infty}W(x) e^{-ax}\,dx = \frac{1}{1-e^{-2\pi a}}\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi -x}{2}e^{-ax}\,dx$$ donde $W(x)$ es $2\pi$-periódico y por tramos lineales de onda de diente de sierra, que es igual a $\frac{\pi-x}{2}$ sobre $(0,2\pi)$.
Esto lleva inmediatamente a $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^2+1} = \frac{\pi}{e^{\pi}-e^{-\pi}}-\frac{1}{2}.$$

Answer 2

$$\sum_{n=1}^\infty {(-1)^n\over 1+n^2}=\sum_{n=1}^\infty {1\over 1+(2n)^2}-\sum_{n=1}^\infty {1\over 1+(2n-1)^2}$ $ sabemos que $$\frac{\pi x\coth(\pi x)-1}{2x^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x^2+n^2}=\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+(\frac{n}{x})^2}$ $ $$\frac{\pi x\coth(\pi x)-1}{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+(\frac{n}{x})^2}$ $

dejemos que $x=\frac{1}{2}$% $$\frac{\frac{\pi}{2}\coth(\frac{\pi}{2})-1}{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+(2n)^2}\tag1$$ y tengamos $$\frac{\pi \tanh(\pi x/2)}{4x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x^2+(2n-1)^2}$ $ dejemos que # # # $x=1$% $ así que $$\frac{\pi \tanh(\pi /2)}{4}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+(2n-1)^2}\tag2$ $